エイリアシングが本質的に非線形であるのはなぜですか？

たとえば、2つの信号がある場合 $x(t)$ そして $y(t)$ スペクトルを追加してそれぞれを変換すると、結果は次の変換と同じになるため、操作は線形になります。 $(x + y)(t)$。

サンプリング系列を見ても、無限要素はそれぞれ線形に加算されます。

しかし、非線形演算のエイリアスはどのように行われ、それは数学的にどのように証明されますか？

あなたは「エイリアス」ではなく「イメージ」を意味すると思います。リサンプリングからの折り返しがある場合、それらはエイリアスになります。

2つの信号を追加していないからです。$x(t)$ そして $\operatorname{III}(t)$、これらの画像が表示されるようにそれらを乗算しています。

$$\begin{align} x_\text{s}(t) & \triangleq x(t) \cdot \operatorname{III}(t/T) \\ &= x(t) \cdot \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} T \delta(t-nT) \\ &= T \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x(t) \cdot \delta(t-nT) \\ &= T \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x(nT) \cdot \delta(t-nT) \\ &= T \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} x[n] \cdot \delta(t-nT) \\ \end{align}$$

ここで、および$x[n] \triangleq x(nT)$

$$\operatorname{III}(u) \triangleq \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \delta(u-n)$$

$$\begin{align} \operatorname{III}(t/T) &= \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \delta\left(\tfrac{t}{T}-n\right) \\ &= \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} \delta\left(\tfrac{t-nT}{T}\right) \\ &= \sum\limits_{n=-\infty}^{+\infty} T \delta(t-nT) \\ &= \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} e^{j k \frac{2 \pi}{T} t} \\ \end{align}$$

最後の行は、フーリエ級数を行うことからのものです。あなたはフーリエ変換のシフトプロパティがトランスフォームを使用する場合さて、その後、フーリエ変換のあります$x_\text{s}(t)$

$$\begin{align} X_\text{s}(f) & \triangleq \mathscr{F}\{x_\text{s}(t)\} \\ &= \mathscr{F}\{x(t) \operatorname{III}(t/T) \} \\ &= \mathscr{F}\left\{x(t) \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} e^{j k \frac{2 \pi}{T} t} \right\} \\ &= \mathscr{F}\left\{\sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} x(t) \, e^{j k \frac{2 \pi}{T} t} \right\} \\ &= \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} \mathscr{F}\left\{ x(t) \, e^{j k \frac{2 \pi}{T} t} \right\} \\ &= \sum\limits_{k=-\infty}^{+\infty} X\left(f-\tfrac{k}{T}\right) \\ \end{align}$$

ここで、です。$X(f) \triangleq \mathscr{F}\{ x(t) \}$

その乗算の非線形プロセスは、以前存在しなかった周波数成分を生成します。これらの新しいコンポーネントは単純にシフトされたバージョンであり、「イメージ」と呼ばれます。$x(t)$$X(f)$

ヒント：

• 入力信号が場合、LTIシステムはある周波数コンポーネントを生成できますか？$\omega_0$$x(n)$$X(e^{j\omega_0})=0$
• エイリアシングはそのようなことをしますか？

これらの質問への回答は単純明快で、組み合わせて元の質問に回答します。