コヒーレントサンプリングの量子化ノイズ-位相ノイズ？

更新：この投稿の下部にある追加の考えを参照してください。

---

以下に説明されているものに制約されない一般的なサンプリング条件（サンプリングクロックに相関のない信号）の下では、量子化ノイズは、多くの場合、1つの量子化レベルにわたる均一な分布として推定されます。2つのADCをIおよびQパスと組み合わせて複雑な信号のサンプリングを作成すると、量子化ノイズには、以下にシミュレーションするように、振幅と位相の両方のノイズ成分があります。示されているように、信号が45°の角度にある場合など、I成分とQ成分が振幅と位相に等しく寄与する場合、このノイズは三角分布を持ち、信号が軸上にある場合は均一になります。これは、各IとQの量子化ノイズが無相関であるために予想されるものであり、両方が出力結果に寄与しているときに分布がたたみ込みます。

質問されるのは、コヒーレントサンプリングの場合に位相ノイズのこの分布が大幅に変化するかどうかです（サンプリングクロック自体にはるかに優れた位相ノイズがあり、要因ではないと想定しています）。具体的には、コヒーレントサンプリングが量子化関連の位相ノイズを大幅に削減するかどうかを理解しようとしています。これは、コヒーレンシを簡単に維持できるクロック信号生成に直接適用できます。

実際の信号（1つのADC）または複雑な信号（2つのADC、1つはI用、もう1つは1つの複雑なサンプルを表すQ用）の両方を検討してください。実際の信号の場合、入力はフルスケールの正弦波であり、位相項は解析信号から導出されます。正弦波トーンのゼロ交差の変化に関連するジッタは、実際の信号の結果として生じる位相ノイズの例です。複素数信号の場合、入力はフルスケールで、実数部と虚数部はそれぞれフルスケールの正弦波になります。$Ae^{j \omega t}$

これは、コヒーレントサンプリングがよく説明されているこの質問に関連していますが、位相ノイズについては特に言及されていません。

コヒーレントサンプリングと量子化ノイズの分布

誘導されたAMおよびPMノイズ成分をより明確に説明するために、以下の図を追加しました。次の図は、特定のサンプリング瞬間で連続時間の複素ベクトルを示す複素量子化の場合と、線形の仮定として、関連する量子化サンプルを赤い点として示しています。信号の実数部と虚数部の量子化レベルの均一な分布。

上の図で量子化が発生する場所を拡大して、誘導された振幅誤差と位相誤差を示します。

したがって、任意の信号が与えられます

$$\begin{align} s(t) &= a(t) e^{j\omega t} \\ &= a(t) \cos(\omega t) + j a(t) \sin(\omega t) \\ &= i(t) + j q(t) \\ \end{align}$$

量子化された信号は、

$$s_k = i_k+ j q_k$$

ここで、およびは、それぞれ以下に従ってマップされた量子化されたIおよびQレベルを表します。$i_k$$q_k$

$$\mathcal{Q}\{x\} = \Delta \Bigl \lfloor \frac{x}{\Delta}+\tfrac{1}{2} \Bigr \rfloor$$

どこに表し床関数を、そして離散的な量子化レベルを表します。$\lfloor (\cdot) \rfloor$$\Delta$

$$\begin{align} i_k = \mathcal{Q}\{i(t_k)\} \\ q_k = \mathcal{Q}\{q(t_k)\} \\ \end{align}$$

振幅誤差はここいる時間である生成するためにサンプリングした。t k s （t ）s $|s(t_k)|-|s_k|$$t_k$$s(t)$$s_k$

位相誤差はで、*は複素共役を表します。$\arg\{s(t_k)\} - \arg\{s_k\} = \arg\{s(t_k) \cdot (s_k)^*\}$

この投稿の質問は、サンプリングクロックが入力信号（の整数倍）と釣り合っているときの位相成分の性質は何ですか？

助けるために、IとQに6ビットの量子化を使用する複雑な量子化の場合の振幅と位相エラーのシミュレーションされた分布を次に示します。これらのシミュレーションでは、実際の信号の「真実」は量子化のどこかに等しくありそうであると想定されます。上の図に示すグリッドとして定義されたセクター。信号が象限の1つ（すべてIまたはすべてQ）に沿っている場合、実際の信号を使用する単一のADCケースで予想されるように、分布は均一です。しかし、信号が45°の角度に沿っている場合、分布は三角形になります。これは、これらの場合に信号のIとQの寄与が等しいため、それぞれが無相関の均一な分布であるため、理にかなっています。そのため、2つの分布は畳み込まれて三角形になります。

信号ベクトルを0°に回転させた後、マグニチュードと角度のヒストグラムは予想どおりはるかに均一になります。

---

更新：特定の質問に対する回答がまだ必要であるため（以下のOlliの回答は、三角形の均一なノイズ密度の更新につながったノイズの特性についての明確な説明を提供しましたが、位相ノイズの特性は一貫性のあるサンプリング条件はまだとらえどころのないです）、私は実際の答えを混乱させる可能性がある次の考えを提供するか、またはさらに進歩します（これらは多くの見当違いの可能性がありますが、私がまだ持っていない答えを得るために）

コヒーレントサンプリング条件では、サンプリングレートは入力周波数の整数倍であることに注意してください（位相ロックも同様）。つまり、複素信号とサンプリングの場合は複素平面を1回回転するときに常に整数のサンプルが存在し、実際の信号とサンプリング（単一のADC）の場合は正弦波の1サイクルの整数のサンプルが存在します。

また、前述のように、サンプリングクロック自体がはるかに優れているため、寄与とは見なされない場合を想定しています。したがって、サンプルは毎回まったく同じ場所に着陸します。

実際の信号の場合を考えると、位相ノイズを決定する際にゼロクロッシングのみを考慮している場合、コヒーレントサンプリングの結果は、固定された一貫した遅延のシフトになります（ただし、立ち上がりエッジと立ち下がりエッジの遅延は異なる場合があります）コヒーレンスが奇数の整数の場合）。明らかに、複雑なサンプリングのケースでは、すべてのサンプルでの位相ノイズに関心があり、これは実際のケースでも同じだと思います（私の疑いは、「真実」からの任意の瞬間のサンプルの時間遅延です。位相ノイズ成分ですが、振幅の違いも何であるかをダブルカウントしていると混乱します...）時間がある場合、1つ以上の繰り返しパターンが与えられた場合、入力信号の整数高調波ですべての歪みが現れるので、これをシミュレートしますサイクル、位相と振幅のテストは、高調波と基本波の相対的な位相になります。これらの高調波（実際の信号ではすべて複素共役の対応物）の合計が基本波または同相で直交しているため、すべての位相ノイズ、すべての振幅ノイズ、または両方の複合ノイズとして示されます。（サンプルの偶数と奇数の違いがこれに影響する可能性があります）。

複雑なケースの場合、釣り合った数のサンプルで行われたOlliのグラフィックは、表示された各量子化サンプルに関連付けられている「真実」上のサンプルの場所を示した場合、さらなる洞察を追加する可能性があります。繰り返しますが、サンプルの数が奇数または偶数の場合、興味深い違いが生じる可能性があります（彼のグラフィックは偶数であり、結果として生じる対称性を観察しますが、位相ノイズと振幅ノイズの関係をそれ以上は理解できません）。しかし私には明らかなのは、サンプリングがコヒーレントである場合、実際の場合と複雑な場合の両方でのノイズ成分は、基本周波数の整数高調波にのみ存在することです。したがって、私が疑っているように位相ノイズがまだ存在している場合でも、整数高調波での位相ノイズの位置は、後続のフィルタリングによって除去されるのをはるかに助長します。

（注：これは、スペクトル純度の高い基準クロック信号の生成に適用されます。）

私は疑問を持っています（編集：これは後で質問から削除されました）：

これらのAMおよびPMノイズ成分の分布は、入力信号がサンプリングクロックと無相関である限り、均一であると合理的に想定できます。

信号を考えます： およびその量子化：

$$\operatorname{signal}(t) = \cos(t) + j\sin(t)$$ $$\operatorname{quantized\_signal}(t) = \frac{\operatorname{round}\big(N\cos(t)\big)}{N} + j\times\frac{\operatorname{round}\big(N\sin(t)\big)}{N}$$

IとQの両方の成分の量子化ステップの場合（図ではです）。$1/N$$N = 5$

図1.信号のトレース（青い線）とその量子化（黒い点）、および場合に信号の異なる部分が量子化される方法を確認するためのそれらのモーフィング。「モーフィング」は、追加のパラメトリックプロットのセットです at$N=5$$a\operatorname{signal}(t) + (1-a)\operatorname{quantized\_signal}(t)$$a = \left[\frac{1}{5}, \frac{2}{5},\frac{3}{5},\frac{4}{5}\right].$

量子化誤差による位相の誤差は次のとおりです。

$$\operatorname{phase\_error}(t) = \operatorname{atan}\Big(\operatorname{Im}\big(\operatorname{quantized\_signal}(t)\big), \operatorname{Re}\big(\operatorname{quantized\_signal}(t)\big)\Big)\\- \operatorname{atan}\Big(\operatorname{Im}\big(\operatorname{signal}(t)\big), \operatorname{Re}\big(\operatorname{signal}(t)\big)\Big) \\= \operatorname{atan}\Big(\operatorname{round}\big(N\sin(t)\big), \operatorname{round}\big(N\cos(t)\big)\Big) - \operatorname{atan}\big(N\sin(t), N\cos(t)\big) \\= \operatorname{atan}\Big(\operatorname{round}\big(N\sin(t)\big), \operatorname{round}\big(N\cos(t)\big)\Big) - \operatorname{mod}(t-\pi, 2\pi) + \pi$$

ラップされたフェーズの減算は危険ですが、この場合は機能します。

図2のための。$\operatorname{phase\_error}(t)$$N = 5$

それは区分的線形関数です。すべてのラインセグメントはゼロレベルと交差しますが、他のさまざまなレベルで終了します。つまり、を一様確率変数と見なすと、の確率密度関数ではゼロに近い値が過剰に表現されます。したがって、は一様分布を持つことができません。$t$$\operatorname{phase\_error}(t),$$\operatorname{phase\_error}(t)$

実際の質問を考えて、図1を見てください。十分に高いと、各サンプリング間隔中に信号がいくつかの量子化境界を超えて回転するような複雑な正弦波の周波数により、サンプルの量子化エラーは事実上、疑似ランダムの固定シーケンスです。数論の癖から来る数。エラーは、周波数と依存します。また、周波数がサンプリング周波数の倍数の約数である場合は、初期位相にも依存します。この場合、量子化エラーは、すべての可能な量子化エラー値を含まない繰り返しシーケンスです。大きなの限界$N$$N,$$N$IおよびQエラーの分布は均一であり、位相および振幅エラーは、信号の位相に依存する分布から生じる疑似乱数です。長方形の量子化グリッドには方向があるため、位相への依存性があります。

大きなの限界で、位相誤差と振幅誤差は、複素誤差の垂直成分です。マグニチュードエラーは、微小量子化ステップに比例して表すことができ、位相エラーは、量子化ステップのに比例して表すことができます。信号位相では、振幅誤差は角度方向あり、位相誤差は角度方向ます。複素量子化誤差は、I軸とQ軸に沿って方向付けられた量子化ステップの正方形に均一に分布し、座標の角は量子化ステップに比例して表されます。$N,$$\arcsin$$\alpha$$\alpha$$\alpha + \pi/2$

$$\big[(1/2, 1/2),\quad(-1/2, 1/2),\quad(-1/2, -1/2),\quad(1/2, -1/2)\big]$$

これらの座標の回転、または同等のそれらの比例位相誤差および比例等級誤差軸への投影により、ノードを持つ同じフラットトップの区分的線形確率密度関数が得られます。

$$\left[\frac{\cos(\alpha)}{2} - \frac{\sin(\alpha)}{2},\quad \frac{\cos(\alpha)}{2} + \frac{\sin(\alpha)}{2},\quad -\frac{\cos(\alpha)}{2} + \frac{\sin(\alpha)}{2},\quad -\frac{\cos(\alpha)}{2} - \frac{\sin(\alpha)}{2}\right] = \left[\sqrt{2}\cos(\alpha + \pi/4),\quad \sqrt{2}\sin(\alpha + \pi/4),\quad -\sqrt{2}\cos(\alpha + \pi/4),\quad -\sqrt{2}\sin(\alpha + \pi/4)\right]$$

信号角所定の比例位相誤差と比例した大きさの誤差の共有区分的線形フラットトップpropability密度関数（PDF）の図3ノード、。 PDFが長方形です。一部のノードはでもマージされ、ワーストケースのラージ漸近推定を伴う三角形のPDFを生成します1）量子化ステップの最大絶対振幅誤差、および2）量子化ステップのの倍の最大絶対位相誤差。$\alpha$$\alpha \in \{-\pi, -\pi/2, 0, \pi/2, \pi\}$$\alpha \in \{-3\pi/4, -\pi/4, \pi/4, 3\pi/4\}$$N$$\sqrt{2}/2$$\sqrt{2}/2$$\arcsin$

中間段階では、PDFは次のようになります。

図4.での共有PDF$\alpha = \pi/8.$

Danによって提案されたように、PDFは、マグニチュードおよび位相エラー軸に投影されたIおよびQエラーの長方形PDFの畳み込みでもあります。投影されたPDFの1つの幅は、もう一方の幅は。それらを組み合わせた分散は均一です。$|\cos(\alpha)|$$|\sin(\alpha)|$$\cos^2(\alpha)/12 + \sin^2(\alpha)/12 = 1/12,$$\alpha$

反復シーケンス内のすべてのサンプルにわずかな誤差しか与えない、初期正弦波と複素正弦波の周波数とサンプリング周波数の有理数の比率のいくつかの「疑似ラッキー」な組み合わせがあるかもしれません。図1に見られるエラーの対称性のため、最大絶対エラーの意味では、これらの周波数は、円上で訪問されるポイントの数が2の倍数であるという利点があります。ポイントの半分だけ。残りのポイントでのエラーは、最初のエラーと同じで、符号が反転します。少なくとも6、4、および12の倍数には、さらに大きな利点があります。正確なルールが何であるかはわかりません。何かの倍数であることがすべてではないようです。それ' モジュロ演算と組み合わせたグリッド対称性についての何か。それにもかかわらず、疑似ランダムエラーは確定的であるため、徹底的な検索により最適な配置が明らかになります。二乗平均平方根（RMS）絶対誤差の意味で最良の配置を見つけるのが最も簡単です。

図5.上）正方形の量子化グリッドを使用した、さまざまなオシレーターのビット深度に対する複素IQオシレーターの可能な最小のRMS絶対量子化エラー。疑似ラッキーなアレンジメントを徹底的に検索するためのソースコードは、回答の最後にあります。比較（水色）が示す底面）の詳細、 RMS絶対量子化誤差の漸近推定、のためにここで、IS発振器ビットの数。$N\to\infty$$\sqrt{1/6}/N,$$N=2^k-1,$$k+1$

最も顕著なエラー周波数の振幅は、RMS絶対エラーを超えることはありません。8ビットオシレータの場合、特にユニットサークル上にある次のポイントが特に適しています。$12$

$$\frac{\{(0, \pm112),\quad (\pm112, 0),\quad (\pm97, \pm56),\quad (\pm56, \pm97)\}}{112.00297611139371}$$

角度の昇順で複素平面上のこれらの点を通過する離散複素正弦波は、5次の高調波歪みしかなく、基本波と比較して dBです。これは、回答の最後にあるOctaveソースコードで確認できます。$-91.5$

RMSの絶対量子化誤差を小さくするために、周波数は近似位相のように順番にポイントを通過する必要はありませんは、サンプリング周波数の倍の周波数です。たとえば、サンプリング周波数の倍の周波数は同じポイントを通過しますが、順序は異なります。。5と12は素数なので、これは同じように機能すると思います。$[0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11]\cdot 2\pi/12$$1/12$$5/12$$[0, 5, 10, 3, 8, 1, 6, 11, 4, 9, 2, 7]\cdot 2\pi/12$

可能な完全な配置について、正弦波の周波数がサンプリング周波数の4分の1（サンプルあたり位相増分）である場合、エラーはすべての点で正確にゼロになる可能性があります。正方格子には、他にそのような完璧な配置はありません。六角形グリッド、またはIまたはQ軸の1つが係数でストレッチされた非正方形の長方形グリッド（これにより、ハニカムグリッドの2番目の行ごとに相当します）では、位相増分はサンプルあたりは完全に機能します。このようなスケーリングは、アナログドメインで実行できます。これにより、グリッドの対称軸の数が増加します。その結果、擬似ラッキーアレンジメントにほとんど好ましい変化が生じます。$\pi/2$ π/$\sqrt{3}$$\pi/3$

図6.スケーリングされた軸の1つ$\sqrt{3}$を持つ長方形の量子化グリッドを使用した、さまざまなオシレータービット深度での複素IQオシレーターの可能な最小のRMS絶対量子化エラー。

特に、円上に30ポイントがある8ビットオシレータの場合、最小のRMS絶対誤差は、正方グリッドで-51.3 dB、非正方矩形グリッドで-62.5 dBであり、最小RMS絶対誤差疑似ラッキーシーケンスにエラーがあります：

図7.長さ30の8ビットの疑似ラッキーシーケンスによるIQ平面の誤差の値は、水平方向に係数で引き伸ばされた量子化グリッドにある対称軸を利用しています。点は、対称軸を中心に反転した3つの擬似ラッキー複素数から取得されます。$\sqrt{3}$

IQクロック信号の実務経験がないので、何が重要かわからない。クロック信号生成では、デジタルアナログコンバーター（DAC）を使用して、良好な擬似ラッキー配置が使用されない限り、高調波ノイズスペクトルを高くするよりも、ホワイトノイズフロアを低くする方が良いと思います。量子化誤差の繰り返しシーケンスから生じるスパイク（コヒーレントサンプリングと量子化ノイズの分布を参照）。これらのスペクトルスパイクは、ホワイトノイズと同様に、寄生容量を介して漏れ、システムの他の部分に望ましくない影響を及ぼしたり、デバイスの電磁両立性（EMC）に影響を及ぼしたりする可能性があります。類推として、スペクトラム拡散技術は、スペクトルスパイクをより低いピークのノイズフロアに変えることによってEMCを改善します。

C ++での徹底的な疑似ラッキー配列検索のソースコードを次に示します。これを一晩実行すると、で少なくとも最大16ビットの発振器の最適な配置を見つけることができます。$1 \le M \le 100$

// Compile with g++ -O3 -std-c++11

#include <stdio.h>
#include <math.h>
#include <complex>
#include <float.h>
#include <algorithm>

// N = circle size in quantization steps
const int maxN = 127;
// M = number of points on the circle
const int minM = 1; 
const int maxM = 100;
const int stepM = 1;
// k = floor(log2(N))
const int mink = 2;
const double IScale = 1; // 1 or larger please, sqrt(3) is very lucky, and 1 means a square grid

typedef std::complex<double> cplx;

struct Arrangement {
  int initialI;
  int initialQ;
  cplx fundamentalIQ;
  double fundamentalIQNorm;
  double cost;
};

int main() {
  cplx rotation[maxM+1];
  cplx fourierCoef[maxM+1];
  double invSlope[maxM+1];
  Arrangement bestArrangements[(maxM+1)*(int)(floor(log2(maxN))+1)];
  const double maxk(floor(log2(maxN)));
  const double IScaleInv = 1/IScale;
  for (int M = minM; M <= maxM; M++) {
    rotation[M] = cplx(cos(2*M_PI/M), sin(2*M_PI/M));
    invSlope[M] = tan(M_PI/2 - 2*M_PI/M)*IScaleInv;
    for (int k = 0; k <= maxk; k++) {
      bestArrangements[M+(maxM+1)*k].cost = DBL_MAX;
      bestArrangements[M+(maxM+1)*k].fundamentalIQNorm = 1;
    }
  }
  for (int M = minM; M <= maxM; M += stepM) {
    for (int m = 0; m < M; m++) {
      fourierCoef[m] = cplx(cos(2*M_PI*m/M), -sin(2*M_PI*m/M))/(double)M;
    }
    for (int initialQ = 0; initialQ <= maxN; initialQ++) {
      int initialI(IScale == 1? initialQ : 0);
      initialI = std::max(initialI, (int)floor(invSlope[M]*initialQ));
      if (initialQ == 0 && initialI == 0) {
    initialI = 1;
      }
      for (; initialI*(int_least64_t)initialI  <= (2*maxN + 1)*(int_least64_t)(2*maxN + 1)/4 - initialQ*(int_least64_t)initialQ; initialI++) {
    cplx IQ(initialI*IScale, initialQ);
    cplx roundedIQ(round(real(IQ)*IScaleInv)*IScale, round(imag(IQ)));
        cplx fundamentalIQ(roundedIQ*fourierCoef[0].real());
    for (int m = 1; m < M; m++) {
      IQ *= rotation[M];
      roundedIQ = cplx(round(real(IQ)*IScaleInv)*IScale, round(imag(IQ)));
          fundamentalIQ += roundedIQ*fourierCoef[m];
    }
    IQ = fundamentalIQ;
    roundedIQ = cplx(round(real(IQ)*IScaleInv)*IScale, round(imag(IQ)));
    double cost = norm(roundedIQ-IQ);
    for (int m = 1; m < M; m++) {
      IQ *= rotation[M];
      roundedIQ = cplx(round(real(IQ)*IScaleInv)*IScale, round(imag(IQ)));
      cost += norm(roundedIQ-IQ);
    }
    double fundamentalIQNorm = norm(fundamentalIQ);
    int k = std::max(floor(log2(initialI)), floor(log2(initialQ)));
    //  printf("(%d,%d)",k,initialI);
    if (cost*bestArrangements[M+(maxM+1)*k].fundamentalIQNorm < bestArrangements[M+(maxM+1)*k].cost*fundamentalIQNorm) {
      bestArrangements[M+(maxM+1)*k] = {initialI, initialQ, fundamentalIQ, fundamentalIQNorm, cost};
    }
      }
    }
  }
  printf("N");
  for (int k = mink; k <= maxk; k++) {
    printf(",%d-bit", k+2);
  }
  printf("\n");
  for (int M = minM; M <= maxM; M += stepM) {
    printf("%d", M);
    for (int k = mink; k <= maxk; k++) {
      printf(",%.13f", sqrt(bestArrangements[M+(maxM+1)*k].cost/bestArrangements[M+(maxM+1)*k].fundamentalIQNorm/M));
    }
    printf("\n");
  }

  printf("bits,M,N,fundamentalI,fundamentalQ,I,Q,rms\n");
  for (int M = minM; M <= maxM; M += stepM) {
    for (int k = mink; k <= maxk; k++) {
      printf("%d,%d,%.13f,%.13f,%.13f,%d,%d,%.13f\n", k+2, M, sqrt(bestArrangements[M+(maxM+1)*k].fundamentalIQNorm), real(bestArrangements[M+(maxM+1)*k].fundamentalIQ), imag(bestArrangements[M+(maxM+1)*k].fundamentalIQ), bestArrangements[M+(maxM+1)*k].initialI, bestArrangements[M+(maxM+1)*k].initialQ, sqrt(bestArrangements[M+(maxM+1)*k].cost/bestArrangements[M+(maxM+1)*k].fundamentalIQNorm/M));
    }
  }
}

で見つかった最初のシーケンスの例を説明するサンプル出力IScale = 1：

bits,M,N,fundamentalI,fundamentalQ,I,Q,rms
8,12,112.0029761113937,112.0029761113937,0.0000000000000,112,0,0.0000265717171

で見つかった2番目の例のシーケンスを説明する出力例IScale = sqrt(3)：

8,30,200.2597744568315,199.1627304588310,20.9328464782995,115,21,0.0007529202390

最初のサンプルシーケンスをテストするためのオクターブコード：

x = [112+0i, 97+56i, 56+97i, 0+112i, -56+97i, -97+56i, -112+0i, -97-56i, -56-97i, 0-112i, 56-97i, 97-56i];
abs(fft(x))
20*log10(abs(fft(x)(6)))-20*log10(abs(fft(x)(2)))

2番目のサンプルシーケンスをテストするためのオクターブコード：

x = exp(2*pi*i*(0:29)/30)*(199.1627304588310+20.9328464782995i);
y = real(x)/sqrt(3)+imag(x)*i;
z = (round(real(y))*sqrt(3)+round(imag(y))*i)/200.2597744568315;
#Error on IQ plane
star = z-exp(2*pi*i*(0:29)/30)*(199.1627304588310+20.9328464782995i)/200.2597744568315;
scatter(real(star), imag(star));
#Magnitude of discrete Fourier transform
scatter((0:length(z)-1)*2*pi/30, 20*log10(abs(fft(z))/abs(fft(z)(2)))); ylim([-120, 0]);
#RMS error:
10*log10((sum(fft(z).*conj(fft(z)))-(fft(z)(2).*conj(fft(z)(2))))/(fft(z)(2).*conj(fft(z)(2))))