クラークのドップラーパワースペクトル密度の解釈

ドップラー拡散について私が理解していることは、送信機（TX）と受信機（RX）の間の相対的な動きが信号の露出時間を変えるということです。一定距離のTX-RXとの関係では、互いに向かってTX-RXに移動すると、信号が時間的に「圧縮」され（信号の伝搬にかかる時間が短くなります）、信号は周波数領域で「拡張」されます。同様に、RX-TXを移動すると、信号が時間とともに「拡張」され、そのスペクトルが「圧縮」されます。つまり、それはフーリエ変換のスケーリングです。これらの2つの極端なケースは、元の周波数を $-f_d$ そして $+f_d$ どこ $f_d$ 最大ドップラースプレッドです。

Clarkeモデルを見ると、これは、豊富な散乱環境と等しい到来角を持つ複数の伝播モデルです。（詳細はClarkeモデルのリンク）

私がよく理解している場合、都市環境での理性的な2つの仮定があります。

レイリーフェージング
等しい到来角、または等しいレシーバ感度

私は元の記事から数学に従っています、それは大丈夫そうです。最終的なドップラーパワースペクトルは $\displaystyle S(f) = \frac{1}{\pi f_d \sqrt{1 - \left(\frac{f}{f_d}\right)^2}}$

私が理解していないのは、なぜエネルギーが2つの極端な拡散周波数に集中するのかということです。 $-f_d$ そして $f_d$ 到来角は均一です。物理的な解釈はありますか？有名なClarkeモデルには何が欠けていますか？個人的に、このモデルは典型的な都市環境をよくモデル化しているようです。

RHクラーク、「モバイル無線受信の統計理論」、ベルシステムテクニカルジャーナル、1968年7月/ 8月、p。957ff

答えカルロスの答えは最も基本的な数学的部分を捉えていますが、実際の答えは「角度と周波数の間のマッピング」に関する彼のコメントにあります。また、マクシミリアンの答えも面白いです。

power-spectral-density doppler

— AlexTP
ソース

..あなたは、ドップラーのために一定の周波数オフセット期待する一定の速度と無マルチパスを考える

— ダンBoschen

ダンさん、ありがとうございます。しかし、それは私が助けを求める理由ではありません。

— AlexTP 2017

すみません、あなたの質問を誤解しました。カルロスは以下で答えたと思いますが、あなたが示すプロット以外のエネルギーについて何を期待していたのですか？

— Dan Boschen 2017

はい、カルロスは私の質問に答えましたが、彼のコメントで。到来角間のマッピングです

θ

$\theta$ と頻度

f

$f$ 。

— AlexTP 2017

回答:

単純で「技術的ではない」考え方は、ドップラー周波数が $\cos\theta$ 。ただし、コサインの振幅は均一に分布しているわけではなく、 $\pm 1$ 。

Python / Pylabコードを使用して示すプロットの例：

theta = linspace(0, 2*pi, 1001)
x = cos(theta)
hist(x)

それに注意することで、より厳しいことがわかります

\begin{aligned} f & = f_{d} \cos θ \\ θ & = \cos^{- 1} (\frac{f}{f_{d}}) \end{aligned}

$\begin{align} f &= f_d \cos\theta\\ \theta &= \cos^{-1}\left(\frac{f}{f_d}\right) \end{align}$ そして、任意の角度で受け取った電力は、小さな角度増分に比例します

d θ

$d\theta$ ：

P (θ) \propto d θ = \frac{- 1}{f_{d} \sqrt{1 - {(\frac{f}{f_{d}})}^{2}}} d f

$P(\theta) \propto d\theta = \frac{-1}{f_d\sqrt{1-\left(\frac{f}{f_d}\right)^2}} df$

また、合計パワーは、上記の量を積分することで決定できます。これは、パワースペクトル密度を定義するものとまったく同じです。

— ロバート・L
ソース

ありがとうございました。数学は明らかですが、私の質問には答えません。私の質問は、このcos分布の物理的解釈とは何か、またはLoSと180°反射がどのようにほとんどのエネルギーを物理的に捕捉するかです。

— AlexTP 2017

LoSと180度の反射は、ほとんどのエネルギーを捕捉しません。これはモデルでは主張されていません。特異点のあるプロットは角度ではなく周波数に対するものであるため、そのように見えるだけです。周波数と角度の間の非線形マッピングが特異点が現れる理由です。

— ロバートL.

改めて感謝します。これが私が聞きたいこと、「非線形マッピング」です。同じ量の帯域幅を使用する場合、別の言語で言うことができることに同意しますか

Δ f

$\Delta f$ 統合するには、この帯域がドップラースペクトルの端に近いほど、角度が大きくなります。

d Θ

$d\Theta$ 私たちは蓄積し、それが私たちが四肢でより多くの力を持っている理由ですか？

— AlexTP 2017

カルロスの回答に加えて、私はあなたの一般的な理解を訂正したいと思います：

ドップラー拡散について私が理解していることは、送信機（TX）と受信機（RX）の間の相対的な動きが信号の露出時間を変えるということです。一定距離のTX-RXとの関係で、互いのTX-RXに向かって移動信号が時間的に「圧縮」され（信号の伝搬にかかる時間が短くなります）、信号は周波数領域で「拡張」されます。同様に、RX-TXを移動すると、信号が時間とともに「拡張」され、そのスペクトルが「圧縮」されます。つまり、これはフーリエ変換のスケーリングです。

あなたの理解は、広帯域の意味で正しいです。ただし、クラークのモデルは、ドップラー拡散が次の式で与えられる狭帯域の状況を参照しています。 $f_d=f_c \frac{v}{c}$ 。広帯域の状況では、キャリア周波数はありません。Clarkesモデルでは、帯域幅が $\Delta f$ 信号のよりもはるかに小さい $f_c$ 信号は集中しています $f_c\pm\frac{\Delta f}{2}$ 。クラークのモデルでは、各周波数は同じシフト、つまりX_ {out}（f）= X_ {in}（f-df）を経験します。ここで、 $df$ 瞬間的なシフトです $X_{in},X_{out}$ は、送信信号と受信信号のフーリエ変換です。これはおおよそ正しい $\Delta f<<f_c$ 。広帯域モデルでは、各周波数は周波数に比例するシフトを経験します、すなわち $X_{out}(f)=X_{in}(\alpha f)$ と $\alpha=\frac{v}{c}$ 。

編集：数学的な用語でもう少し説明しましょう：

一般に、周波数のある正弦波 $f$ これは受信機に送信され、TXとRXの相対速度は $v$ 、正弦波は周波数で受信されます $f(1\pm-\frac{v}{c})$ （動きの方向に応じてサイン）。

狭帯域の仮定では、送信信号は搬送周波数の周りにあるとされています $f_c\pm\Delta f$ どこ $2\Delta f<<f_c$ 信号の帯域幅です（私は $2\Delta f$ 表記を簡単にするための帯域幅として）。さて、周波数の正弦波を仮定します $f_c-\Delta f$ 送信されます。したがって、受信した正弦波には周波数があります

f_{o u t} = f_{i n} (1 - \frac{v}{c}) = f_{c} (1 - \frac{v}{c}) - Δ f (1 - \frac{v}{c}) = f_{c} - Δ f - f_{c} \frac{v}{c} - Δ_{f} \frac{v}{c} \approx f_{i n} - f_{c} \frac{v}{c}

$f_{out}=f_{in}\left(1-\frac{v}{c}\right)=f_c\left(1-\frac{v}{c}\right)-\Delta f\left(1-\frac{v}{c}\right)=f_c-\Delta f - f_c\frac{v}{c} - \Delta_f\frac{v}{c}\approx f_{in}-f_c\frac{v}{c}$ 近似の由来

Δ f << f_{c}

$\Delta f << f_c$ 。ご覧のとおり、周波数のシフトは、キャリア周波数に対する実際の周波数に依存していません。これはナローバンドの仮定です。

ドップラー拡散効果が信号の帯域幅を変更しないとは言いたくありません。実際には、それはによって信号を拡散します $f_D=f_c\frac{v}{c}$ 。ただし、私が指摘したい重要な違いは、狭帯域ではすべての周波数が同じシフトを経験すると想定できるのに対し、広帯域ではシフトは実際の周波数に依存するということです。Clarkeのモデルは、任意の周波数（帯域幅内）の正弦波がシステムに送信されたときの周波数シフトの分布を表すため、狭帯域のケースに当てはまります。

— マクシミリアン・マテ
ソース

ありがとう。しかし、私はそれを理解していません。これらのケースはどのようにワイドバンドとナローバンドが違うのですか？ナローバンドのケースで言えますか

X_{o u t} (f_{1}) = X_{i n} (α f_{1}), X_{o u t} (f_{2}) = X_{i n} (α f_{2})

$X_{out}(f_1) = X_{in}(\alpha f_1), X_{out}(f_2) = X_{in}(\alpha f_2)$ そしてその

f_{1} - f_{2} \approx α (f_{1} - f_{2})

$f_1 - f_2 \approx \alpha (f_1 - f_2)$ なぜなら

a b s (f_{1} - f_{2}) << 1

$abs(f_1 - f_2) << 1$ ？。別の言い方で私の意見を述べさせてください、あなたはドップラー拡散が帯域幅を変えないことを私に言っていますか

Δ f

$\Delta f$ 信号の？私の意見では、帯域は拡張されますが、狭帯域の性質（または状態）のため、拡張は重要ではありません

Δ f << f_{c}

$\Delta f << f_c$ 。

— AlexTP 2017

@AlexTP私はいくつかの数学を追加しました。導出、これはおそらくそれをより明確にしますか？

— MaximilianMatthé2017

ありがとう。私はあなたが今何を意味するかを理解しています。確かに、私たちは同じ話をしました

f_{o u t} = f_{i n} (1 - \frac{v}{c})

$f_{out} = f_{in}(1-\frac{v}{c})$ はまだスケーリング操作ですが、一定周波数シフトへの点近似は非常に興味深いものです。「周波数シフトの分布を説明しているので、狭帯域の場合のクラークのモデルホールド」について詳しく説明してください。狭帯域の仮定がなければ、ドップラースペクトルの公式は、私が引用したものとは異なることを理解しています。

— AlexTP 2017

私が知りたいのは、ドップラースペクトルのサポートが狭帯域の仮定に依存する場合です。特定の頻度について、到着の各角度が

θ

$\theta$ 作成します

f_{o u t} (θ)

$f_{out}(\theta)$ 。LoSと180度の反射経路は、ドップラースペクトルの2つの端を作成し、サポートは送信信号の性質に依存しないはずです。変化するのは、パワースペクトル自体だけです。

— AlexTP 2017

到着角度ごとに異なる周波数シフトが発生します

f (θ)

$f(\theta)$ 、あれは

f_{o u t} = f_{i n} + f (θ)

$f_{out}=f_{in}+f(\theta)$ 。他の方法では、到来角が均等に分布している場合、ドップラースペクトルを経験豊富なドップラーシフトの確率密度関数として理解できると思います。つまり、最も可能性が高いのは、シフトが

\pm f_{D}

$\pm f_D$ 、しかしシフトが可能性が非常に低いです

0

$0$ 。

— MaximilianMatthé2017