この信号は完全に再構築可能ですか？

質問は次のとおりです。

分析させてください：

最初の下り道：

$$\begin{align} X_1(z) &= z^{-1}X(z)\\ X_2(z) &= \frac{1}{2}\left\{X_1\left(z^\frac{1}{2}\right)+X_1\left(-z^\frac{1}{2}\right)\right\}\\ X_3(z) &= X_2(z^2) = \frac{1}{2}\left\{X_1(z)+X_1(-z)\} = \frac{1}{2}\{z^{-1}X(z)- z^{-1}X(-z)\right\}\\ X_4(z) &= zX_3(z) = \frac{1}{2}\left\{X(z)- X(-z)\right\} \end{align}$$ そしてアップロード： $$X_6(z) = X_5(z^2) = \frac{1}{2}\{X(z) + X(-z) \}$$

したがって、再構成された信号は次のとおりです。

$$\bar{X}(z) = X_4(z) + X_6(z) = X(z)$$

しかし、このフィルターバンクは、PP V.のマルチレートシステムと 193ページのフィルターバンクによると、完全な再構成を満足していないと非常に混乱しています。

$$F_0(z) =H_1(-z), \quad F_1(z) = -H_0(-z)\tag{5.1.7}$$

だから私はとても混乱しています。誰が私の質問に答えることができますか？

はい、信号は完全に再構築されています。以下のブロック図を使用して示すように、各段階のプロセスを検討してください。

図の各ノードの信号の各サンプルを検討します（各サンプルは、各行のノードのサンプルインデックスを使用して示されています）。

（注：FFTアルゴリズムでも同じ形式の再構成が表示されます）。

エイリアシングがキャンセルされる方法を説明しようと試みます（MBazのコメントに対処します）。

まず、次の周波数応答を検討します。 $z^{-1}$ （そして $z^{+1}$）。 $z^{-1}$時間領域での1サンプルの遅延のz変換です（方法/理由$\mathcal Z$-変換とユニット遅延は関連していますか？）。遅延の周波数応答は一定の大きさであり、線形位相（固定長のケーブルで見られるようなものです。非常に低い周波数は1サイクルの一部だけ遅延しますが、より高い周波数は数サイクル遅延します：

具体的には $z^{-1}$、遅延はサイクルごとに1サンプルであるため、振幅は一定（1）であり、位相は0から $-2\pi$周波数軸が0からサンプリングレートになるまで。（そして$z^{+1}$ これは遅延ではなく進みであり、周波数に対する正の位相で同様になります。

位相のみを以下に示します（振幅はすべての周波数で1です）

OPによって提示されたシステムを通過するときに何が起こるかを確認するには、次のデジタルスペクトルを検討してください。（注意、マルチレートシステムやミックスドシグナルアナログ-デジタルシステムを扱う場合、周波数軸を$-\infty$ に $+\infty$、私は以下に描写しています）。

ここで、元のスペクトルを単位遅延後のスペクトルと比較したときに起こる美しいことを観察します。私はそのフェーズを強調しています$F_s/2$ 180°回転した後、完全に360°回転し、0°に戻ります。 $F_s$。この回転は、0からサンプリングレートまでの線形位相シフトから連続しています（この図では表示に問題があります-誰かが赤と青のスペクトルで実際のスパイラル効果を示す3Dプロットを作成できたら、私は永遠に感謝します私はこのプロットをクラスで使用しているため、アーティファクトであり、そのままでは説明に時間がかかります）

次に、2で間引きしたときにスペクトルがどうなるかを確認します（MBazが慎重に懸念していたエイリアス）。私にとって、アナログからデジタルへの変換を行うときに発生するエイリアシングのアナロジーは、このプロセスを直感的に理解するのに役立ちました（デシメーションは「デジタルからデジタルへの変換」であるため）。このコメントは、A / Dプロセス。）：

最後に、「ゼロ挿入」補間を実行するとどうなるかを確認します。ゼロ挿入補間は、スペクトルを完全に維持します。これにより、現在の主要なデジタルスペクトルの一部になる画像以外の歪みは発生しません。これは、波形をユニットサンプル応答（インパルス応答）で畳み込むことによってゼロ挿入が行われるためです。

その重要な背景を踏まえて、OPによって与えられたシステムに従いましょう。まず、入力信号を偶数サンプルと奇数サンプルに間引きします。遅延によって引き起こされた回転と、間引きによって引き起こされたエイリアシングに注意してください（上記のように、遅延後のスペクトルを実際に適切に視覚化するために、青が正確に180°位相がずれているスパイラルになります$f_s/2$ ポイントのみ）：

偶数サンプルと奇数サンプルは、ゼロ挿入を実行することで2で補間され、最下位パスは1サンプル進みます（そのため、これが原因のプロセスではないため、1つのサンプルの「寄生遅延」が発生することに注意してください。これを実際に実装できるようにするには、チャートで行われたことに従ってください）。ことに注意してください$z^{+1}$反対方向にらせんを作成します。[の組み合わせ効果$z^{-1}$、2で間引き、2で内挿 $z^{+1}$]上記のすべての周波数成分に対して位相を180°シフトします $fs/2$ 元のスペクトルでは、以下のすべての周波数成分を渡します $fs/2$位相シフトが0°の場合（および新しいスペクトルの中心にイメージを作成する場合）。したがって、2つのパスを結合（追加）することで、元のスペクトルが復元されます！

注：2つのスペクトルを減算して、逆のスペクトルを取得することもできます。加算と減算が2pt DFTで行うこととまったく同じであることに注意してください。

$$\begin{bmatrix}1 & 1\\1 & -1\end{bmatrix}\begin{bmatrix}x_1\\x_2\end{bmatrix}=\begin{bmatrix}y_1\\y_2\end{bmatrix}$$

エイリアシングはスペクトルを壊滅的に破壊する可能性があることを学び、スペクトルが汚染されると干渉を分離できないと考えています。これは確かにどちらか一方のパスしかなかった場合に当てはまりますが、2番目のパスがエイリアスを追跡しているため、両方のパスがある限り、建設的にキャンセルできます。干渉。これは、マルチユーザー検出スキームへの洞察も提供します。

まず、PP Vaidyanathan条件は十分な条件であり、必要条件ではありません。

上部はすべてのサンプルを保持します。下部では、オッズを偶数に変換し、すべての（小説）を偶数に保ち、（小説）の偶数を古い場所に戻します。したがって、遅延$z^{-1}$ そして $z^{+1}$ 維持された偶数（上）と確率（下）を正確にインターリーブします。

PP Vaidyanathanの図5.1-1は、 $H_0(z) = 1$、 $H_1(z) = z^{-1}$、 $F_0(z) =1$、 $F_1(z) = z^{1}$したがって、

$$H_0(-z)F_0(z) + H_1(-z)F_1(z) = 1 +\frac{1}{-z}z^{1} = 0\,,$$

結構です。