共分散と自己相関

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これらの概念の間に直接の関係があるかどうかを把握しようとしています。厳密には定義から、それらは一般的に異なる概念であるように見えます。しかし、私はそれについて考えるほど、彼らは非常に似ていると思います。

レッツ $X,Y$ WSSランダムベクトルとします。共分散、 $C_{XY}$ 、で与えられる

C_{X Y} = E [(X - μ_{x}) (Y - μ_{y})^{H}]

$C_{XY}=E\left[(X-\mu_x)(Y-\mu_y)^H\right]$

H

$H$ ベクトルのエルミートを表します。

してみましょう $Z$ WSSランダムベクトルとします。自己相関関数 $R_{XX}$ 、で与えられる

R_{Z Z} (τ) = E [(Z (n) - μ_{z}) {(Z (n + τ) - μ_{z})}^{H}]

$R_{ZZ}(\tau)=E\left[\left(Z(n)-\mu_z\right)\left(Z(n+\tau)-\mu_z\right)^H\right]$

注の編集信号処理に適用されるこの定義には修正があります。以下のマットの回答を参照してください。

共分散は時間の概念を含まず、ランダムベクトルの各要素がランダムジェネレーターの異なる実現であると想定しています。自己相関は、ランダムベクトルが初期ランダムジェネレーターの時間発展であると想定しています。しかし結局のところ、これらは両方とも同じ数学的実体、つまり数列です。あなたが聞かせている場合 $X=Y=Z$ 、表示されます

C_{X Y} = R_{Z Z}

$C_{XY}=R_{ZZ}$ 私が行方不明ですがより微妙なそこに何かありますか？

autocorrelation covariance proof

— rbell
ソース

オート

R_{Z Z} (τ)

$R_{ZZ}(\tau)$

— コレレーション

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自己相関の定義によれば、自己相関は2つの確率変数との共分散です。この関数は、自動共分散とも呼ばれます。 $Z(n)$ $Z(n+\tau)$

余談ですが、信号処理では、自己相関は通常次のように定義されます。

R_{X X} (t_{1}, t_{2}) = E {X (t_{1}) X^{*} (t_{2})}

$R_{XX}(t_1,t_2)=E\{X(t_1)X^*(t_2)\}$

つまり、平均を減算することなく。自己共分散は、

C_{X X} (t_{1}, t_{2}) = E {[X (t_{1}) - μ_{X} (t_{1})] [X^{*} (t_{2}) - μ_{X}^{*} (t_{2})]}

$C_{XX}(t_1,t_2)=E\{[X(t_1)-\mu_X(t_1)][X^*(t_2)-\mu^*_X(t_2)]\}$

これら2つの関数は、

C_{X X} (t_{1}, t_{2}) = R_{X X} (t_{1}, t_{2}) - μ_{X} (t_{1}) μ_{X}^{*} (t_{2})

$C_{XX}(t_1,t_2)=R_{XX}(t_1,t_2)-\mu_X(t_1)\mu^*_X(t_2)$

— マットL.
ソース

を変数として見ると、自己相関は「時間ギャップ」の関数になり、データセットに関する非常に興味深い情報が得られます。自己相関、離散フーリエ変換、およびウィーナー・ヒンチンの定理の間の関係を見てください。

τ

$\tau$

— PhilMacKay 2017

@PhilMacKay：もちろんですが、これはWSSプロセスでのみ機能します。プロセスが必ずしも定常的ではない一般的なケースの定義を示しました。

— Matt L.

はい、確かに非定常プロセスはデータ分析を煩わしくする可能性があるため、愛する統計ツールを使用する前に常にデータのトレンドを排除しようとしています！ただし、常に可能とは限りません...

— PhilMacKay 2017

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自己相関の定義に、と 2つのシーケンスからのオフセットを指定する追加の項含まれていることに注意してください。 $\tau$ $Z(n)$ $Z(n+\tau)$ $R_{ZZ}(\tau)$ $\tau \in \mathbb{R}^+$ $C_{XY}$

$X=Y=Z$ $\tau = 0$ $R_{ZZ}(\tau)$

私の個人的な経験（天体物理学、さまざまなセンサー処理）では、2つのデータセットの類似性を確認するための係数として共分散が使用され、相関距離、つまりデータが別のデータになるまでの速さを特徴付けるために自己相関が使用されました完全に。

— PhilMacKay
ソース