LTIシステムが新しい周波数を生成できないのはなぜですか？

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なぜ $Y (\omega) = X(\omega)H(\omega)$ LTIシステムは、新たな周波数を生成することができないことを意味？
システムが新しい周波数を生成する場合、それはなぜLTIではないのですか？

convolution time-frequency

— ユーザー
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LTIシステムの決定的な機能の1つは、入力にまだ存在していない新しい周波数を生成できないことです。注意この文脈でその周波数が型の信号を指す又はである無限の持続時間、およびも呼ばれる固有関数のために特別に（LTIシステムの複素指数のみ）およびそのCTフーリエ変換は、周波数領域のインパルス関数によってとして表されます $x(t)=e^{j\Omega_0 t}$ $\cos(\Omega_0 t)$ または repectively。 $X(\Omega) =2\pi \delta (\Omega - \Omega_0)$ $X(\Omega)=\pi \delta (\Omega - \Omega_0) + \pi \delta (\Omega + \Omega_0)$

これがそうである理由を確認する1つの方法は、よく知られている関係のみで与えられる出力のCTFT、観察することです。システムは、LTI（ともあるときに安定した実際のところそうと存在します）。 $Y(\omega)$ $y(t)$ $Y(\omega) = H(\omega)X(\omega)$ $H(e^{j \omega})$

（すなわち、場合にのみ成立するインパルス応答 存在しシステムがLTIの場合にのみ存在します。）

y (t) = \int_{- \infty}^{\infty} x (τ) h (t - τ) d τ ⟷ Y (ω) = X (ω) H (ω),

$y(t)=\int_{-\infty}^{\infty}x(\tau)h(t-\tau)d\tau \longleftrightarrow Y(\omega)=X(\omega)H(\omega),$

h (t)

$h(t)$

少し考えて、単純なグラフィカルプロットに導かれ、上記の乗算プロパティを使用すると、出力のサポート の周波数領域（がゼロ以外の周波数のセット）であることがわかりますは、入力のサポート領域との交点とLTIシステムの周波数応答の交点によって与えられます $R_y$ $Y(\omega)$ $Y(\omega)$ $R_x$ $R_h$ $X(\omega)$ $H(\omega)$

R_{y} = R_{x} \cap R_{h}

$R_y = R_x \cap R_h$

そして、集合代数から、私たちは知っている場合はその後、と。つまり、交差は常に交差しているものよりも少ないか、同等です。したがって、サポート領域は、サポートよりも小さいか、最大でもこれに等しくなります。したがって、出力で新しい周波数は観測されません。 $A = B \cap C$ $A \subset B$ $A \subset C$ $Y(\omega)$ $X(\omega)$

この特性はLTIシステムになるための必須条件であるため、それを保有できないシステムはLTIにはなりません。

— Fat32
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あなたが提供した前提を前提として、あなたは簡単な代数的議論をすることができます。次の場合：

Y (ω) = X (ω) H (ω)

$Y(\omega) = X(\omega) H(\omega)$

ここで、は入力信号のスペクトルであり、）はシステムの周波数応答ですであるいくつかのが入力信号にある場合、も; ゼロ以外の値を生成するために乗算できる係数はありません。 $X(\omega)$ $H(\omega$ $\omega$ $X(\omega) = 0$ $Y(\omega) = 0$ $H(\omega)$

そうは言っても、LTIシステムについて上記で始めた前提の真実を確立するには、いくらかの作業が必要です。しかし、それが真であると仮定すると、LTIシステムがその出力に新しい周波数成分を導入できないという事実は、そのまま続きます。

— ジェイソンR
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証明は、十分に正常に動作する信号の場合、フーリエ変換は可逆的であり、FTとその逆変換の両方が線形であることを示すことです。周波数を持つすべての信号は十分に動作します。

— マーカス・ミュラー

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なぜ LTIシステムは、新たな周波数を生成することができないことを意味？ $Y(ω)=X(ω)H(ω)$

特定の周波数場合私達の入力に存在しない。0従うため乗法同一、。したがって、周波数、出力信号には存在しません。 $\omega_\text{abs}$ $X(\omega_\text{abs}) = 0$ $\forall x\in \mathbb{R},~ 0 \cdot x = 0$ $Y(\omega_\text{abs}) = 0$ $\omega_\text{abs}$

システムが新しい周波数を生成する場合、それはなぜLTIではないのですか？

入力がとしましょう。我々はシステムが新しい周波数を生成することができることを前提とした場合に続いて、それが出力得ることが可能である $x(t) = \cos(t)$ $y(t) = \cos(2\cdot t)$ 。となるような定数見つけることができないため、システムはLTIではありません。 $c_1, c_2$ $y(t) = c_1 \cos(t - c_2)$

— スコット
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LTIのチェックには、c1だけを使用し、c2も使用しないのではないですか？

— ユーザー2016年

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最初のポイントは、本質的には、ゼロを何でも掛けてゼロ以外のものを取得できないということです。つまり、簡潔な答えです。

— robert bristow-johnson 2016

c1は線形性に使用され、c2はタイムシフトに使用されます。すべてを1時間単位で遅延させるLTIシステムを使用できます。

— スコット

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LTIシステムは、純粋な周波数によって対角化されます。サイン/コサインは、線形システムの固有ベクトルです。言い換えると、単一のゼロ以外の正弦または余弦（または複素シソイド）入力は、同じ周波数の正弦または余弦出力を正確に持ちます（ただし、出力振幅が消えることがあります）。

変化する可能性があるのは、振幅または位相のみです。したがって、入力に特定の周波数のサインがない場合、その周波数では何も出力されません（ゼロ）。

2番目の質問は、対偶かのレギュレーションfalsiによって回答されています場合にはそうである、真実である $A\implies B$ 。システムがLTIの場合、新しい周波数は生成されません。システムが新しい周波数を生成する場合、それはLTIではありません。 $\overline{B}\implies \overline{A}$

— ローランデュバル
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