任意の位相シフトを持つ位相シフタを構築する方法

DSPエンジニアのフレッドは、お気に入りのDSPストアに買い物に行きます。

フレッド：こんにちは、位相シフターを購入したいと思います。

店員：うーん、どういう意味？

フレッド：さて、あなたは知っている、あなたのような正弦波に入れた場合$x(t)=\sin(\omega_0t)$あなたが得る$y(t)=\sin(\omega_0t-\theta)$いずれかのために、出力で$\omega_0$。そしてもちろん、$\theta$は調整可能でなければなりません。

店員：なるほど。申し訳ありませんが、ありません。しかし、私は同じことを必要としている他の人を覚えています。彼らは常にヒルベルト変換器、2つの乗算器、および加算器を購入し、これらすべてを何らかの方法で接続して、調整可能な位相シフターを作ります。

フレッド：そうそうそう！

フレッドはその男が何を話しているのか理解するふりをします。もちろん、彼はそれを行う方法を知りません。彼は男が必要だと言ったものをすべて購入し、自宅でそれを理解するかもしれないと自分で考えます。

フレッドは、店で入手したコンポーネントを使用して、調整可能な位相シフト$\theta$を備えた位相シフターをどのように構築できますか？

いい質問だ！これは、私のお気に入りのトリガーIDの1つを使用します（これは、直交変調が実際には振幅と位相の同時変調であることを示すためにも使用できます）。

ヒルベルトはの変換である- のcos （2 π F 0トン）。また、罪（2 π F 0 T + θ ）= 罪（2 π F 0 T ）+ B COS （2 π F 0 T ）（に拘束2 + B 2$\sin(2\pi f_0t)$$-\cos(2\pi f_0t)$

$$\sin(2\pi f_0t+\theta)=a\sin(2\pi f_0t)+b\cos(2\pi f_0t)$$ ）、 θ = atan2 （b 、a ）です。これは、1つの可能なアプローチを示唆しています。フレッドには θ = 2.1ラジアンが必要だとしましょう。彼は計算タン（2.1 ）≈ - 1.71。その後、彼が見つける必要と bのように、 2 + B 2 = 1及び B / = - 1.71で、 < 0および B > $a^2+b^2=1$$\theta=\text{atan2}(b,a)$$\theta=2.1$$\tan(2.1)\approx-1.71$$a$$b$$a^2+b^2=1$$b/a=-1.71$$a<0$$b>0$、これは単純な代数問題です。セット0 = - 1、B 0 = 1.71、N = √$a_0=-1$$b_0=1.71$、a=a0/n、およびb=b0/n。次いで、フレッドは容易ヒルベルト変換器、2個の乗算器、2つのDCソース使用して所望の位相を有する正弦波を生成することができる（一方の組のボルト及び他の-B余弦の符号の世話をするために、ボルト）、及び1つの加算器。$n=\sqrt{a_0^2+b_0^2}$$a=a_0/n$$b=b_0/n$$a$$-b$

上記のシステムのインパルス応答は、次の式で与えられます。

$a\delta(t)+\frac{b}{\pi t}$

ブロック図：

MBazの答えは正しいです。それについて別の考え方を追加したいのですが、もちろん同じ結果が得られます。

$\theta$

$$H(\omega)=\begin{cases}e^{-j\theta},&\omega>0\\e^{j\theta},&\omega<0\end{cases}$$ $$H(\omega)=e^{-j\theta\text{sign}(\omega)}=\cos(\theta)-j\,\text{sign}(\omega)\sin(\theta)$$ $G(\omega)=-j\,\text{sign}(\omega)$$g(t)=\frac{1}{\pi t}$ $$h(t)=\cos(\theta)\delta(t)+\sin(\theta)\frac{1}{\pi t}$$ $\sin(\theta)$$\cos(\theta)$

$2N+1$$N$