シャープな遷移を維持しながら信号のノイズを除去するためのトリックの袋

これは信号に依存することがわかっていますが、新しいノイズの多い信号に直面すると、急激な遷移を維持しながら信号をノイズ除去しようとするトリックのバッグは何ですか（たとえば、あらゆる種類の単純な平均化、つまりガウスとの畳み込みがなくなります）。私はしばしばこの質問に直面し、自分が何をしようとしているかわからないように感じます（スプライン以外にも、適切な鋭い移行を真剣に打ち倒すことができます）。

PSサイドノートとして、ウェーブレットを使用した良い方法を知っているなら、それが何であるかを教えてください。彼らはこの分野で多くの可能性を秘めているように思えますが、90年代には論文の方法がうまくいくことを示唆する十分な引用がある論文がいくつかありますが、介在年。確かにそれ以降、いくつかの方法は一般的に「最初に試すこと」であることが判明しました。

L1ノルム最小化（圧縮センシング）は、エッジの保存に関して、従来のフーリエノイズ除去よりも比較的良い仕事をすることができます。

手順は目的関数を最小化することです

ここで、はノイズの多い信号、はノイズ除去された信号、は正則化パラメーター、およびL1ノルムペナルティです。ノイズ除去は、この最適化問題の解を見つけることによって達成され、はノイズレベルに依存します。y b | f （y ）| y $x$$y$$b$$|f(y)|$$y$$b$

エッジを保持するには、信号応じて、がスパースになるように異なるペナルティを選択できます（圧縮センシングの精神）。f （y $y$$f(y)$

• 場合区分的であり、とすることができる全変動（TV）ペナルティ。f （y $y$$f(y)$

• 場合曲線状（例えばサイノグラム）は、膨張係数であることができるに対してcurvelets。（これは1Dではなく2D / 3D信号用です）;f （y ）$y$$f(y)$$y$

• 場合等方特異点（エッジ）を有し、膨張係数であることができるに対してウェーブレット。f （y ）$y$$f(y)$$y$

場合（curvelet /ウェーブレット上記のような）いくつかの基底関数に対する膨張係数であり、最適化問題を解くこと膨張係数を閾値と同等です。$f(y)$

このアプローチは、目的関数がなるデコンボリューションにも適用できることに注意してください、ここでは畳み込み演算子です。$|x-Hy|+ b|f(y)|$$H$

異方性拡散を考慮することができます。この手法に基づいた多くの方法があります。一般的には、画像用です。これは、画像のエッジ以外の部分を滑らかにし、エッジを保持することを目的とする適応ノイズ除去方法です。

また、合計変動を最小化するには、このチュートリアルを使用できます。著者は、MATLABコードも提供します。彼らは、問題を分析の事前問題として認識します。これは、線形マッピング（時間-周波数表現など）を使用することに似ています。ただし、変換ではなく差分マトリックスを使用します。

もう1つの興味深いアプローチがBoydによって提供されており、Trend Filteringとして表示されます。これもTVの正則化に非常に似ていますが、ボイドは問題の定式化に異なる行列を使用していると思います。$D$

Chaohuangには良い答えがありますが、使用できるもう1つの方法は、Haar Wavelet変換、その後のウェーブレット係数の縮小、および時間領域に戻る逆Haar変換を使用することです。

Haarウェーブレット変換は、スケールは異なりますが、信号を平方係数と差関数の係数に分解します。ここでの考え方は、元の信号に最もよく一致するように新しい正方形の信号表現を「強制」し、エッジが存在する場所を最も適切に表現するというものです。

係数の縮小を実行すると、Haar変換関数の特定の係数をゼロに設定するということだけです。（他にも複雑な方法がありますが、それが最も簡単です）。Haar変換ウェーブレット係数は、異なるスケールの異なる平方/差関数に関連付けられたスコアです。Haar変換された信号のRHSは、最小スケールで平方/差の基底を表すため、「最高周波数」で解釈できます。したがって、ほとんどのノイズエネルギーはここにあり、VSのほとんどの信号エネルギーはLHSにあります。Isは、ゼロにされた基底係数であり、結果は時間領域に逆変換されます。

添付されているのは、AWGNの大きなノイズによって破損した正弦波の例です。目的は、パルスの「開始」と「停止」がどこにあるかを把握することです。従来のフィルタリングは、その中心部ではフィルタリングがL-2手法であるため、高周波（および時間的に高度に局所化された）エッジを塗りつぶします。対照的に、次の反復プロセスはノイズを除去し、エッジを保持します：

（ここに映画を添付できると思っていましたが、できないようです。このプロセスで作成した映画をここからダウンロードできます）。（右クリックして「名前を付けてリンクを保存」）。

MATLABでプロセスを「手動」で作成しましたが、次のようになります。

• 重いAWGNによって破損した正弦波パルスを作成します。
• 上記のエンベロープを計算します。（シグナル'）。
• すべてのスケールで信号のHaarウェーブレット変換を計算します。
• 反復的な係数のしきい値処理によるノイズ除去。
• インバースハール縮小された係数ベクトルを変換します。

係数がどのように縮小されているか、およびそれから生じる逆Haar変換が明確にわかります。

ただし、この方法の1つの欠点は、エッジが所定のスケールで正方形/差のベース内または周囲にある必要があることです。そうでない場合、変換は次に高いレベルにジャンプするように強制されるため、エッジの正確な配置が失われます。これに対処するために使用される多重解像度の方法がありますが、それらはより複雑です。

よく機能する簡単な方法は、メディアンフィルターを適用することです。