自然応答とゼロ入力応答の違いは何ですか？

私はDSPを初めて使用し、入力の影響を受けるシステムのさまざまな応答を経験しました。ゼロ入力応答についての私の理解は、入力信号がゼロに設定されたときのシステムの応答/出力です。言い換えると、システムが線形定数係数差分方程式で記述されている場合、ゼロ入力応答は均一解になります。

ただし、 $\mathcal Z$ -入力の変換は有理関数です $X(z)=N(z)/Q(z)$ LTIシステム関数のそれは $H(z)=B(z)/A(z)$ そして、システムは最初に緩和され、次に $Y(z)= H(z)X(z) = N(z)B(z)/A(z)Q(z)$ 。の明確な零点（実数のみ）と極（実数のみ）を仮定すると $X(z)$ そして $H(z)$ その後

Y (z) = \sum_{k = 1}^{N} \frac{A_{k}}{1 - p_{k} z^{- 1}} + \sum_{k = 1}^{L} \frac{Q_{k}}{1 - q_{k} z^{- 1}}

$Y(z) = \sum_{k=1}^N \frac{A_k}{1-p_kz^{-1}} + \sum_{k=1}^L \frac{Q_k}{1-q_kz^{-1}}$

与える

y （ ん ） = Σ_{k = 1}^{N} あ_{k} （ p_{k} ）^{ん} あなた （ ん ） + Σ_{k = 1}^{L} Q_{k} （ q_{k} ）^{ん} あなた （ ん ）

$y(n) = \sum_{k=1}^N A_k(p_k)^{n}u(n) + \sum_{k=1}^L Q_k(q_k)^{n}u(n)$

どこ $p_k$ そして $q_k$ システムの極です $H(z)$ と入力信号 $X(z)$ それぞれと $u(n)$ 単位ステップ関数です。ここで、最初の用語はシステムの自然応答と呼ばれます $H(z)$ 。ゼロ入力と自然応答の違いを把握するのは非常に混乱します。

編集：質問の参照は、本のDSP：原理、アルゴリズム、およびアプリケーションであるJohn ProakisおよびD Manolakisの PDFがここにあります。そして自然な反応

ピーターとマット、回答とコメントをありがとう。

— 回転イメージ
ソース

自動回帰 （「C.時不変システム」を参照）も同じ概念で使用されていると思います。

— Valentin Tihomirov 2016年

回答:

最初に、多くの著者が同義語としてゼロ入力応答と自然応答という用語を使用していることを認識することが重要です。この規則は、対応するウィキペディアの記事で使用されており、たとえばこの本でも使用されています。プロアキスとマノラキスでさえ、それについて完全に明確ではありません。引用した本では、97ページに次の文があります。

[...]入力がゼロのシステムの出力は、ゼロ入力応答または自然応答と呼ばれます。

これは、2つの用語を同じ意味で使用できることを示唆しています。ページのさらに下に、次の文があります。

したがって、ゼロ入力応答はシステム自体の特性であり、システムの自然応答または自由応答としても知られています。

繰り返しますが、これは著者が両方の用語が同等であると信じていることを強く示唆しています。

ただし、あなたが言及したページでは、2つを区別するように見えます。違いは以下の通りです。ゼロ入力応答は、非ゼロの初期条件によって引き起こされる応答です。これは、システムプロパティと初期条件の値にのみ依存します。初期条件がゼロの場合、ゼロ入力応答はゼロになります。

自然の応答は、全応答のみ入力信号（の変換）の極に依存しないシステムの極によって決定され、その形状の一部です。自然応答は定数に関して入力信号に依存しますが、その形式はシステムの極によって完全に決定されます。ゼロ入力応答とは異なり、初期応答がゼロの場合、自然応答は消えません。

システムの合計応答は、次の2つの合計として表すことができます。

ゼロ入力応答+ゼロ状態応答
自然応答+強制応答

ゼロ状態応答は初期条件がゼロの場合の応答であり、強制応答は応答信号の一部であり、その形式は入力信号の形式によって決まります。

これが次の例で明らかになることを願っています。次のシステムを調べてみましょう。

\begin{matrix} （1） & y [ん] + a y [ん - 1] = b^{ん} あなた [ん] 、 y [- 1] = c \end{matrix}

$y[n]+ay[n-1]=b^nu[n],\qquad y[-1]=c\tag{1}$

どこ $u[n]$ 単位ステップシーケンスです。合計応答は、 $\mathcal{Z}$ -変換テクニック：

\begin{matrix} （2） & y [ん] = [\frac{1}{a + b} b^{ん + 1} + （ c - \frac{1}{a + b} ） （ - a ）^{ん + 1}] あなた [ん] \end{matrix}

$y[n]=\left[\frac{1}{a+b}b^{n+1}+\left(c-\frac{1}{a+b}\right)(-a)^{n+1}\right]u[n]\tag{2}$

ゼロ入力応答は、初期条件によって決定され、依存しない合計応答の一部です $b$ ：

\begin{matrix} （3） & y_{Z 私} [ん] = c （ - a ）^{ん + 1} あなた [ん] \end{matrix}

$y_{ZI}[n]=c(-a)^{n+1}u[n]\tag{3}$

明らかに、 $y_{ZI}[n]=0$ ために $c=y[-1]=0$ つまり、初期条件がゼロの場合です。

自然応答は、全体の応答の一部であり、その形状はシステムの極によって決定されます。

\begin{matrix} （4） & y_{N} [ん] = （ c - \frac{1}{a + b} ） （ - a ）^{ん + 1} あなた [ん] \end{matrix}

$y_N[n]=\left(c-\frac{1}{a+b}\right)(-a)^{n+1}u[n]\tag{4}$

これは、初期条件と入力信号（定数 $b$ ）。

また、システムの極と入力信号変換の極に依存するのは、ゼロ状態応答の形状です。ここで言及する他のすべての応答は、2つの極のセットの1つにのみ依存します。ゼロ入力応答と自然応答の形状はシステムの極にのみ依存しますが、強制応答の形状は入力信号の極によって決定されます。の表現 $y[n]$ ProakisとManolakisからの質問で引用されているのはゼロ状態応答です（システムは最初は停止しているため）。最初の合計は強制応答で、2番目の合計は自然応答です。この場合、ゼロ入力応答はゼロであるため、自然応答と強制応答の合計（つまり、総応答）は、ゼロ状態応答と等しくなります。

数学的な用語では、自然応答は差分方程式の同次解です。定数は、特定の解（強制応答）と同次解の合計が特定の初期条件を満たすように決定されます。明らかに、ゼロ入力応答も同次方程式の解ですが、自然応答との違いは、ゼロ入力応答のみが初期条件を満たしていることです。これは、初期条件がゼロであると仮定するゼロ状態応答と組み合わされるためです。一方、自然応答だけでは初期条件を満たしません。初期条件は、自然応答を差分方程式の特定の解（後者は強制応答）と組み合わせることによってのみ満たされます。

上で述べたように、トータルソリューションは次のように書くことができます

y [ん] = y_{Z 私} [ん] + y_{Z S} [ん]

$y[n]=y_{ZI}[n]+y_{ZS}[n]$

（ゼロ入力応答とゼロ状態応答）

そして

y [ん] = y_{N} [ん] + y_{F} [ん]

$y[n]=y_N[n]+y_F[n]$

（自然応答と強制応答）。与えられた例では、

y_{Z 私} [- 1] = y [- 1]

$y_{ZI}[-1]=y[-1]$

つまり、 $y_{ZI}[n]$ これで初期状態が処理されます。それも理由です $y_{ZI}[n]=0$ 初期条件がゼロの場合。 $y_{ZI}[n]$ 同次方程式を満たさなければならない

y_{Z 私} [ん] + a y_{Z 私} [ん - 1] = 0 、 y_{Z 私} [- 1] = y [- 1]

$y_{ZI}[n]+ay_{ZI}[n-1]=0,\qquad y_{ZI}[-1]=y[-1]$

だから $y[-1]=0$ 、 $y_{ZI}[n]=0$ すべてのために $n$ 。自然応答も均一方程式を満たしますが、初期条件を満たしていません $y_N[-1]=y[-1]$ 。満足しているのは $y_N[-1]+y_F[-1]=y[-1]$ 。これが、初期条件がゼロであっても、自然応答が一般にゼロでない理由です。そして自然応答は、標準的な方法で見つかった特定のソリューション（強制応答）と組み合わせる必要がある均一なソリューションです。通常、ゼロ入力応答で表される特別な均一解と組み合わせると、差分方程式の完全な解を与える特定の特定の解を見つける直接的な手段はありません。これには、別の均一なソリューションが必要です。これが自然な反応です。

再び上記の例を使用すると、うまくいけばこれを明確にするでしょう。指数関数的な強制信号の場合、特定のソリューションを取得する標準的な（そして最も簡単な）方法は、スケーリングされたバージョンの強制関数を選択することです。

\begin{matrix} （A1） & y_{p} [ん] = あ b^{ん} \end{matrix}

$y_p[n]=Ab^n\tag{A1}$

（簡単にするために、ユニットステップは省略します $u[n]$ 、私たちが考えると仮定して $n\ge 0$ 、初期状態について話さない限り）。定数 $A$ 差し込むことによって決定されます $(A1)$ 差分方程式に：

あ b^{ん} + a あ b^{ん - 1} = b^{ん}

$Ab^n+aAb^{n-1}=b^n$

与える $A=\frac{b}{a+b}$ 。均質な解の一般的な形は

\begin{matrix} （A2） & y_{h} [ん] = B （ - a ）^{ん} \end{matrix}

$y_h[n]=B(-a)^n\tag{A2}$

もちろん $y_h[n]=0$ （つまり、 $B=0$ ）は1つの特定のソリューションですが、それは私たちが探しているものではありません。定数を決定する必要があります $B$ 特定の解と均一解の合計が初期条件を満たすように：

y [- 1] = y_{p} [- 1] + y_{h} [- 1] = \frac{あ}{b} - \frac{B}{a}

$y[-1]=y_p[-1]+y_h[-1]=\frac{A}{b}-\frac{B}{a}$

この方程式から、

B = \frac{a}{a + b} - a y [- 1]

$B=\frac{a}{a+b}-ay[-1]$

これは、必要な均一解がゼロでない場合に $y[-1]=0$ 。 $y_p[n]$ そして $y_h[n]$ このようにして見つかるのは、強制応答と自然応答とそれぞれ同じです。 $(4)$ そして-暗黙的に-で $(2)$ 。

— マットL.
ソース

さて、（モバイルだけでなく）少し読む機会があったので、これが起こっていると思います。

線形で一定の係数の差分方程式があります。

y [ん] + Σ_{k = 1}^{N} α_{k} y [ん - k] = Σ_{メートル = 0}^{M} β_{メートル} バツ [ん - メートル]

$y[n] + \sum_{k=1}^N \alpha_k y[n-k] = \sum_{m=0}^M \beta_m x[n-m]$

そして私たちは見つけたい $y$ 与えられた $x$ 。

一般的に、ソリューション $Y$ 2つのコンポーネントで構成されます。

y = y_{p} + y_{h}

$y = y_p + y_h$ どこ

y_{p}

$y_p$ 特定のソリューションであり、

y_{h}

$y_h$ は均質な解です。

特定のソリューションは、システム入力を $x$ 。均一解は、システムの入力を0（ゼロ）に設定し、システム状態の任意の初期条件を選択することで得られます。

ProakisとManolakisが想定しているのは、初期システム状態がすべてゼロであるということです（式3.6.2のすぐ上、質問で強調したとおり）。

これが、ゼロ入力（およびゼロ状態）ソリューションとゼロ入力（および任意の状態または同種）ソリューションの違いです。つまり、初期条件を選択します。均質な解には任意の初期条件が必要です。それ以外の場合、すべての均質な解は $y_h = 0$ 。

— ピーターK
ソース

最後の文が、初期条件がゼロの場合、LCCDEの解はその特定の解によって完全に特徴付けられることを意味するものである場合（そのため、

y_{h} = 0

$y_h=0$ ）、それから私はそれが間違っていると言います。均質な差分方程式が「開始」するにはゼロ以外の初期条件が必要であるという事実を参照していると思いますが、それは異なります。一般的に、解決策は

y_{p} + y_{h}

$y_p+y_h$ と

y_{h} \neq 0

$y_h\neq 0$ 、初期条件がゼロであっても。

— Matt L.

@MattL。初期条件と強制関数がゼロで、そのための例を教えてください

y_{h} = 0

$y_h = 0$ 有効なソリューションではありませんか？私はあなたの要点を理解します。恣意的な初期条件を仮定せずに非自明な均一解を見つける方法を考えることはできません---明らかにゼロを含みます。

— Peter K.

初期条件がゼロの（そして

y_{p} = 0

$y_p=0$ ）、それからあなたは正しいです。しかし、私のポイントはこれです：あなたは、差分方程式の解たい場合と機能を強制的に、そしてあなたのようにそれを分解する

y = y_{p} + y_{h}

$y=y_p+y_h$ そう言うのは正しくありません

y_{h} = 0

$y_h=0$ 初期条件がゼロの場合。私の答えから例を挙げましょう。均質な解は、次式で与えられます。（4）そして、それはゼロではない

y [- 1] = c = 0

$y[-1]=c=0$ 。その理由は、初期条件が

y_{h}

$y_h$ と組み合わせ

y_{p}

$y_p$ 、それらの条件がゼロであっても。そう

y_{h} [- 1] \neq 0

$y_h[-1]\neq 0$ 、たとえ

y [- 1] = 0

$y[-1]=0$

— Matt L.

@MattL。私のポイントは

y [n] + a y [n - 1] = 0

$y[n] + ay[n-1] = 0$ 完全に有効な「均質なソリューション」

y_{h} [n] = 0, \forall n

$y_h[n] = 0, \forall n$ 初期条件がゼロであると仮定した場合。あなたが書いたもの（真の均一解）を見つけるためには、ゼロでない初期条件を仮定する必要があります。

— Peter K.

もちろん私はあなたの例に同意します。このタイプの例は、以前のコメントの最初の文で言及したものです（

y_{p} = 0

$y_p=0$ ）。ただし、強制関数がゼロでない場合は、均質な解も得られます。これらの場合

y_{h} \neq 0

$y_h\neq 0$ 、初期条件がゼロの場合でも。そして、私はあなたの答えの最後の文は反対を主張していると思いました、少なくとも私はそれを理解しています。要するに、一般的には

y_{h} \neq 0

$y_h\neq 0$ 初期条件がゼロの場合でも（

y_{p} \neq 0

$y_p\neq 0$ ）。

— Matt

方程式を使用せずに。
RとCを含む回路を（単純な例として）調べます。適用された入力電圧源があります。コンデンサには初期電圧がかかっています。

2つの図面を使用して、電流または電圧を解決します。そして、両方の計算値を追跡して、最終的な答えを出します。

[1回目の描画]回路（入力電圧源は含まない）を描画しますが、初期条件を使用して、次のことを尋ねます。それが回路の自然応答です。V DISCHARGE方程式を記述し、DISCHARGE時定数を求めています。これは回路の自然応答です（ゼロ入力：適用された入力電圧源はありませんが、初期条件はあります）。この「パート1」の電流または電圧値を保存します。

[2番目の図]次に、強制応答を計算します。初期条件を含めないでください。入力電圧源と回路部品を描き、「答えを見つける」だけです。この「パート2」の電流または電圧値を保存します。この結果（初期条件を無視）は強制応答です。

最終的な回答は、NATURAL RESPONSEから計算した電流とFORCED RESPONSEから計算した電流の合計です。-または-自然応答から計算した電圧と強制応答から計算した電圧の合計は何ですか。ありがとうございました。セザールジェネラルブラボーエリアから2020年2月25日

— セザール
ソース