信号解析の観点からの畳み込みと相互相関の違い

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畳み込みと相互相関の違いを理解しようとしています。私は理解されたこの答えを読みました。下の写真も理解しています。

しかし、信号処理（私がほとんど知らない分野）に関しては、2つの信号（または、信号とフィルターでしょうか？）つまり、実際の分析では、畳み込みが優先され、相互相関が優先されます。

これらの2つの用語には多くの用途があるように思えるので、その用途は何ですか？

*ここの相互相関は、g*f代わりに読む必要がありますf*g

discrete-signals continuous-signals signal-detection

— MathBgu
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信号処理では、2つの問題が一般的です。

入力が場合、このフィルターの出力はどうなりますか？答えはで与えられますはフィルターの「インパルス応答」と呼ばれる信号で、は畳み込み演算です。 $x(t)$ $x(t)\ast h(t)$ $h(t)$ $\ast$
ノイズの多い信号与えられた場合、信号何らかの形で存在しますか？言い換えれば、はの形式で、はノイズですか？答えは、との相関によって見つけることができます。与えられた時間遅延に対して相関が大きい場合、答えはイエスであると自信を持って言えます。 $y(t)$ $x(t)$ $y(t)$ $y(t)$ $x(t)+n(t)$ $n(t)$ $y(t)$ $x(t)$ $\tau$

関係する信号が対称である場合、畳み込みと相互相関は同じ動作になることに注意してください。このケースは、DSPの一部の領域でも非常に一般的です。

— MBaz
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とった。明快で明るい答えをありがとう！

— MathBgu

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インパルス応答の説明について私が気に入っているのは、畳み込みが「反転」する理由が本当に直感的にわかるということです。離散項では、現在の出力は、現在の入力x時間0でのインパルス応答+前の入力インパルス応答からの残差出力（入力a n-1 *インパルス1 +入力n-2 *インパルス2など）です。

— ジャンフレデリックプランテ

@ Jean-FredericPLANTEはい、それはそれを説明する良い方法です。

— MBaz

@ Jean-FredericPLANTEコメント付きのこの回答は、より賢明です。

— 9

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畳み込みと相互相関という2つの用語は、DSPで非常によく似た方法で実装されています。

どちらを使用するかは、アプリケーションによって異なります。

線形で時間不変のフィルタリング操作を実行している場合、信号をシステムのインパルス応答で畳み込みます。

2つの信号の「類似性を測定する」場合、それらを相互相関させます。

一致フィルターを作成しようとすると、2つの用語が一緒になります。

ここでは、特定の信号に既知の「パルス」（信号）が含まれているかどうかを判断しようとしています。これを行う1つの方法は、既知のパルスの時間反転で特定の信号を畳み込むことです。現在、既知のパルスと特定の信号の相互相関を実行するために畳み込みを使用しています。 $s[n]$ $p[n]$ $s$ $p$

サイドノート

「相互相関」という用語は、DSPの分野で誤用されています。

統計のために、相関は、2つの変数であるとの間であるべきでどれだけ近いかの措置その値であると。 $-1$ $+1$

相互相関に関するウィキペディアのエントリからわかるように、DSPバージョンが使用され、次のように記載されています。

相互相関は、2つの系列の類似性の尺度であり、一方に対する他方の遅れの関数です。

DSPの定義に問題：この「類似性」の尺度は、各信号のエネルギーに依存することです。

\sum_{\forall m} バツ [n] y [n + m]

$\sum_{\forall m} x[n] y[n+m]$

— ピーターK.
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これは私にとって非常に役立ちます。ありがとうございました！

— MathBgu

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信号処理では、LTIシステムの出力を取得するために畳み込みが実行されます。相関（自動相関または相互相関）は通常、後で他の計算を行うために使用されるように計算されます

相関、共分散、相関係数を混同しないように注意する必要があります。相関は必ずしも-1〜1である必要はありません。相関係数（https://en.wikipedia.org/wiki/Pearson_product-moment_correlation_coefficient）は、2つのランダム変数分散によってスケーリングされるため、-1〜1になります。。覚えておく必要があるのは、2つのランダム変数がどのように関連しているかを分析するために統計信号処理で行われる実際の操作は、相関ではなく「共分散」であるということです。しかし、信号がセンサーによってキャプチャされ、電圧に変換され、ADCでデジタル化されるほとんどのアプリケーションでは、信号がゼロ平均であると仮定できます。したがって、相関は共分散に等しくなります。

— 骨
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そのリンクを見てみましょう。ありがとうございました！

— MathBgu

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@MathBgu私は上記のすべての答えを読みましたが、すべてが非常に有益です。次のように畳み込みの式を検討することで、より良い理解のために追加したいこと

f （ バツ ） * g （ バツ ） = \int_{- \infty}^{\infty} f （ τ ） g （ バツ - τ ） d τ

$f(x)*g(x)=\int\limits_{-\infty}^{\infty}f(\tau)g(x-\tau)\,d\tau$

相互相関

（ f ⋆ g ） （ t ） \overset{def}{=} \int_{- \infty}^{\infty} f^{*} （ τ ） g （ t + τ ） d τ 、

$(f\star g)(t)\stackrel{\text{def}}{=}\int\limits_{-\infty}^{\infty}f^*(\tau)g(t+\tau)\,d\tau,$

$(t)$ $(-t)$

畳み込みを使用して、2つのブロック/信号があり、時間領域で直接（直列に）隣接しているシステムの出力/結果を取得します。

— RMファヒーム
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thos additionalslクリアリングポイントに言及していただきありがとうございます！

— MathBgu

f *の*は複素共役を意味しますか？「y軸を横切る」代わりに、「時間軸を逆にする」ことを検討してください。y軸について言及する場合。

— ペトルスセロン

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畳み込みと相関の意味の間には多くの微妙な点があります。どちらも線形代数の内積と射影のより広い概念に属します。つまり、あるベクトルを別のベクトルに射影して、後者の方向の「強さ」を決定します。

この考え方は、ニューラルネットワークの分野にまで及び、マトリックスの各行にデータサンプルを投影し、その行に「適合する」度合いを判断します。各行はオブジェクトの特定のクラスを表します。たとえば、各行は、手書き認識のためにアルファベットの文字を分類できます。各行をニューロンと呼ぶのが一般的ですが、マッチドフィルターとも呼ばれます。

本質的には、2つのものがどれほど似ているかを測定したり、信号や画像などの特定の機能を見つけようとしています。たとえば、バンドパスフィルターで信号を畳み込むとき、その帯域に含まれるコンテンツを見つけようとしています。DFTなどの正弦波と信号を相関させる場合、信号内の正弦波の周波数の強さを探しています。後者の場合、相関はスライドしませんが、まだ2つのことを「相関」していることに注意してください。内積を使用して、信号を正弦波に投影しています。

それでは、違いは何ですか？畳み込みでは、信号はフィルターに対して後方にあると考えてください。時変信号の場合、これは、データがフィルターに入る順序で相関するという効果があります。少しの間、相関を単純に内積として定義します。つまり、あるものを別のものに投影します。そのため、最初は、信号の最初の部分とフィルターの最初の部分を相関させています。信号がフィルターを通過するにつれて、相関がより完全になります。信号の各要素は、その時点で「触れている」フィルタの要素とのみ乗算されることに注意してください。

そのため、畳み込みではある意味で相関関係がありますが、信号がシステムと相互作用するときに変化が生じる時間内の順序を維持しようとしています。ただし、フィルターが対称である場合は、多くの場合そうですが、実際には問題ではありません。畳み込みと相関は同じ結果をもたらします。

相関では、2つの信号を比較するだけで、イベントの順序を保持しようとはしていません。それらを比較するために、それらを同じ方向に向ける、つまり整列させる必要があります。1つの信号を他の信号の上にスライドさせて、各タイムウィンドウでそれらの相似性をテストできるようにします。それらが互いに位相がずれている場合、または大きい信号で小さい信号を探している場合です。

画像処理では、状況は少し異なります。私たちは時間を気にしません。ただし、畳み込みにはまだいくつかの有用な数学的特性があります。ただし、大きな画像の一部を小さな画像に一致させようとする場合（つまり、一致フィルタリング）、機能が揃わないため、反転させたくないでしょう。もちろん、フィルターが対称的でない限り。画像処理では、相関と畳み込みは、特にニューラルネットと互換的に使用されることがあります。明らかに、画像が2次元データの抽象表現であり、1次元が時間である場合、時間は依然として関連性があります（スペクトログラムなど）。

要約すると、相関と畳み込みは両方とも内積をスライドさせ、空間または時間によって変化するため、あるものを別のものに投影するために使用されます。畳み込みは順序が重要な場合に使用され、通常はデータの変換に使用されます。相関は通常、大きなものの中から小さなものを見つける、つまり一致させるために使用されます。2つの「モノ」の少なくとも1つが対称である場合、どちらを使用するかは重要ではありません。

— オロドベン
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信号処理はさておき、たたみ込みと相関で何が起こっているのかを理解しようとすると、どちらも非常によく似た操作です。唯一の違いは畳み込みで、変数の1つは積の累積を実行する前に反転（反転）します。上記の単語signalを使用していないことを確認してください。私は実行された操作に関してのみ話している。

次に、信号処理について説明します。

畳み込み演算は、システムの入力singal（x）およびインパルス応答（h）が与えられた場合に、線形時不変システム（LTIシステム）の出力を計算するために使用されます。コンボリューション演算のみがLTIシステムの出力を取得するために使用される理由を理解するために、大きな派生があります。ここから派生を見つけてください。

http://www.rctn.org/bruno/npb163/lti-conv/lti-convolution.html

相関演算を使用して、2つの信号xとyの類似性を見つけます。相関の値が大きいほど、2つの信号間の類似性が高くなります。

ここの違いを理解し、

畳み込み->信号とシステムの間（フィルター）
相関-> 2つの信号間

そのため、信号分析の観点からは、畳み込み演算は使用されません。信号分析の観点からは、相関関係のみが使用されます。一方、システム解析の観点からは畳み込みが使用されます。

畳み込みと相関の操作を理解する最良の方法は、問題の図に示されているように、2つの連続変数間で2つの畳み込みと相関が行われたときに何が起こるかを理解することです。

— カルティック・ポドゥグ
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