デジタルフィルターの設計に必要な数学のフィールド

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デジタルフィルターの設計を学びたい。私の数学の知識は高校レベルです。私はインターネットを通して数学を学ぶことができます。それでは、どのような数学の分野を学ぶ必要がありますか？

filter-design reference-request

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DSP.SEへようこそ！質問を編集してreference-requestタグを追加しました。私は失礼に聞こえると思いますが、一般的に「こんにちは」と冒頭と質問の最後の「お願い/ありがとう」は* .SEフォーラムでは使用されません。ここでの目的は、質問に答えることです。そのため、質問することは、完全にすばらしいことです。

— Peter K.

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また、見ていこの質問とその答えを。

— Matt L.

モデレーターさん、アメリカ人はもうカウボーイではありません。あなたはいくらか文明的です。次に、「紳士」による紹介と「よろしく」による終了を許可する必要があります。

— George Theodosiou

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@George Theodosiou：このWebサイトで "Hello"や "Thanks"を使わないことに慣れるまで、しばらく時間がかかりました。このWebサイトのマスターは、「雑談」と呼ばれるものを避けたいと考えています。（信号処理に関係のない些細なことについて話し合います。まさに今私がやっていることです。）ちなみに、アメリカにはまだ、正当なカウボーイがまだたくさんいます。1か月前、ネバダ州のバーでカウボーイに会いました。カウボーイは革のベストを着ていて、ホルスターに6人の射手がいました。

— Richard Lyons

ここにDSPリソースをいくつか置きました：pipad.org/wiki/index.php/DSP

— P i

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自分で数学を学ぶためのボールがある場合。フィルター設計を行うために支配する必要がある数学の2つのフィールドは、機能分析と凸最適化です。ほぼすべてのフィルター設計は、次のような最適化問題の結果です。これらの周波数領域でのフーリエ変換の絶対値が次の形状になるように、これらの数値のセットを見つけます（周波数が0Hzから320Hzのときのこれら2つの制限の間）。周波数が340Hzを超える場合、他の2つの間）。あるいは、一連のものであるこの信号に数列の離散畳み込みを適用する際ように番号、結果はこの信号である $N$ $N$ $x(n)$ 。そして、それらを定義する方法は他にもたくさんあります。 $y(n)$

また、信号をモデル化する方法、システムをモデル化する方法、信号間の相互作用と操作（変換、畳み込みなど）をモデル化する方法を理解するには、機能分析が必要です。

それが役に立てば幸い。

— 骨
ソース

もちろん。まったく同感です。私の答えのポイントは、フィルター設計の背後にある基礎となる数学的概念を理解する方法を提供することでした。フィルター設計への私のアプローチは、MATLABに移動し、フィルター設計ツールを開いて、適切なものが見つかるまでパラメーターを調整することです。しかし、それはフィルター設計について「学びたい」という人への適切な答えではありません。言われていること：私が説明した最適化の問題は、おそらく数値近似で、MATLABがカーテンの裏側で行うことです。

— 骨

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始めるには：

複素数

フィルターの周波数応答は、大きさの周波数応答と位相の周波数応答の両方を表す、複素数値を理解しやすくなります。極と零点を理解できるようになるため、複雑になる場合があります。複素数を使用すると、負の周波数を持つことができ、計算が簡単になります。

三角法

$\sin$ $\cos$ $e^{i\alpha} = \cos(\alpha) + i\sin(\alpha)$

差別化

単純なフィルターがピークまたはディップする周波数を見つけるには、その周波数応答の微分がゼロである周波数を解くことができます。

統合

フーリエ変換と逆フーリエ変換には統合が必要です。

フーリエ変換

フーリエ変換を使用すると、インパルス応答から周波数応答に行き来することができます。また、時間領域で行うことは、しばしば周波数領域に単純な対応物があり、その逆も同様です。

— オリ・ニエミタロ
ソース

この無料の本は、リストの「統合」の直後に必要なものの多くをカバーしていると付け加えたいと思います。

— MBaz 2015年

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ソフトウェア/ファームウェアでフィルターを実装することを前提として、数値分析についてもある程度理解する必要があります。多くのデジタルフィルターはアナログフィルターから派生しているため、ラプラス変換も役立ちます。

— MackTuesday、2015年

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@George Theodosiou：あらゆる種類の強力な数学の主題（一部のみが役立つ）に飛び込む代わりに、DSP初心者向けのまともな本を読むことから始めることをお勧めします。人気のある本「デジタル信号処理について」または「科学者およびエンジニアのためのデジタル信号処理ガイド」など。これらの本は、DSPの研究を始めるために必要な数学をゆっくりと穏やかに読者にスプーンで送ります。次に、それらの本であなたを困惑させる方程式に遭遇したとき、あなたはウェブに行き、その特定の方程式の数学をより深く学ぶことができます。

ジョージ、デジタルフィルタリングを学びたいというあなたの願いが誠実で、あなたが熱意を保っていれば、あなたは成功するでしょう。スーザン・B・アンソニーを引用すると、「失敗は不可能です」。幸運を。

— リチャードライオンズ
ソース

ライオンズさん、コメントありがとうございます。私はあなたの著書「Understanding Digital Signal Processing」を研究し始めて、いくつかのコメントをしましたが、それらを投稿するためにいくつかのアドレスが必要です。よろしく。

— George Theodosiou

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@George Theodosiou：あなたからのメールを歓迎します。私はR_dot_Lyons_at_ieee_dot_orgにいます。ヤッサス

— リチャードライオンズ

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私の質問に答え、コメントし、見てくれた人々に感謝します。私の答えは、ボーン氏が示唆するように、機能分析から始めなければならないということです。私は高校で、xの多項式をyと同じとすると、xとyの関数が得られることを覚えています。また、実数係数の代数の基本定理を覚えています。それから私はこの知識から始めることができます。

— ジョージ・テオドシウ
ソース

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デジタルフィルターの設計については、上記の回答に感謝し、いくつかのフィールドを追加したいと思います。

まず、線形ファイリングに制限しましょう。線形性は、時間の不変性とともに、根の仮定です。これらを使用すると、ベクトル空間、畳み込み（積分と級数）、およびフーリエ変換（機能分析の一部、複雑な三角法）が自然なツールになります。これらのツールは線形性/時間不変性の自然な結果であると私は主張しています。フィルター設計では、最適化がかなり普及しています。

側面では、追加のフィールドを覚えておくことができます。異なるレートの相補フィルターの設計に関心があるかもしれません。マルチレートフィルターの設計は、行列分解（フィルター構造（格子、ラダー）とスペクトル分解）にも役立つ可能性があります。実システム実装（FPGA、マイクロコントローラー）に行く場合、固定小数点または整数演算に飛び込む必要があります。もちろん、サンプリング理論は、特に多次元（画像処理）を行う場合は、一次要件です。多項式システムとグレブナー基底を使用して、より高い数学に触れることもできます。

多くのトピック、Gasquet＆Witomski Fourier Analysis and Applications：Filtering、Numerical Computation、 Waveletへの基本的な数学的で明確な紹介のために、私はとても気に入っています。

あまり言及されていない問題を追加しましょう。1つの大きな問題は、多くの場合、タップの数と、特定のフィルター設計を満たすために必要な精度（係数あたりのビット数）です。2つのソース：

市毛ら。最適な{FIR}デジタルフィルターの最小フィルター長の正確な推定、IEEE Transactions on Circuits and Systems II：Analog and Digital Signal Processing、2000
Bellanger、デジタルフィルターの計算の複雑さについて、1981

— ローランデュバル
ソース