帯域制限された非線形歪みなどはありますか？

したがって、サンプルの境界で信号を2つの値間で切り替えるだけで方形波を生成すると、無限の一連の高調波が生成されます。解決策は、帯域制限合成、どちらかあなたがそれをサンプリングする前に理想的な数学的な方形波をバンドは、制限されたかのように同じ波形を生成するために加算合成や帯域制限された手順を使用しました：

http://flic.kr/p/83JMjT

しかし、デジタル正弦波に大きな増幅を適用し、それをデジタルでクリップすると、ギブス現象の波紋がなく、同じ方形波の形状を生成することに気付きました。だから、それはまた、エイリアス歪み製品を生成していますよね？だから、任意の外部のナイキスト限界の高調波を生成し、デジタル領域での非線形歪みはエイリアス歪み製品を生産するのだろうか？（編集：いくつかのテストを行って、この部分が正しいことを確認しました。）

帯域制限およびサンプリングの前に（アナログ領域で）歪みの影響をシミュレートするために、帯域制限された歪みなどがありますか？もしそうなら、どのようにそれをしますか？「帯域制限された歪み」を検索すると、チェビシェフ多項式への参照がいくつか見つかりますが、それらの使用方法や、正弦波のみで機能するかどうかはわかりません。

この機器は、帯域制限された歪みを生成しようとしません。帯域制限された歪みに興味がある人は、チェビシェフ多項式を使用して効果を生成することを検討する必要があります。双曲線正接歪み

 

「チェビシェフ多項式」-本質的に帯域制限されているという重要な特性を持つシェーピング関数。つまり、オーバーラップなどによるスプリアススペクトルハーモニクスを導入しません。Wave Shaper

非線形関数を適用すると常に高調波が発生し、非線形関数と連続信号のサンプルバージョンを混合すると、上記のしわが追加されます（高周波高調波は低周波にエイリアスされます）。

いくつかの方法を考えることができます。

1. 余分な高調波（ノイズフロアなどの任意の精度まで）をキャプチャするのに十分高いオーバーサンプリング係数を使用できます。
2. ハードクリッパーよりも早く消滅する高調波を持つ「ソフトな」クリッピング関数（たとえば、こちらを参照）を使用できます。これはモデル化が簡単ですが、低周波数で独自の歪みが生じます。
3. 上記で提案したアプローチに基づいて、サンプリングされた信号を補間し（ラグランジュまたはチェビシェフ補間を使用するなど）、連続時間モデルを構築します。次に、シミュレートされた連続時間領域でハードクリッパーとローパスを適用します。結果をサンプリングします。

（1）と（2）を組み合わせることができます。3番目のアプローチは複雑ですが、どの程度の歪みを許容するかを最適に制御でき、おそらく非常に高い忠実度の要件に合わせて拡張できます。

級数展開を許容する非線形関数（例：テイラー/マクローリン）の場合、高調波の減衰の速さについて適切な直感を得ることができます。関数のマクラウリン展開は次のとおりです。$f(x)$

$$f(x)=\sum_{n=0}^\infty \left[ \frac{f^{(n)}(0)}{n!} x^n\right]$$

あなたの場合、はクリッピング関数です。（少なくとも単純ではありませんが、これをハードクリッパーで行うことはできません！）置換 x = g （t ）を考慮する場合、 g （t ）は入力信号であり、 x nは g （t ）nになります。入力信号と n回の畳み込みであると考えることができます。したがって、ローパス信号の場合、無限加算の n番目の項の帯域幅は$f(x)$$x=g(t)$$g(t)$$x^n$$g(t)^n$$n$$n$$n$あなたの信号の倍。図を完成させるには、各項に関連する振幅を把握し、合計に含まれる項の数を決定する必要があります。

（少し考えれば、このフォームを直接使用して、フィルター処理された非線形性を近似することもできます。これには、クリッパーの適切な系列表現が必要になります。）

エイリアスフリーの非線形歪みへのいくつかのアプローチ（難易度の高い順）：

1. サブバンド歪み：ローパスフィルターを使用して、信号の下端を抽出します。f sのカットオフ周波数を選択した場合エイリアシングを回避するために、fN+1で始まる微分を持つ任意の非線形伝達関数fを消失させることができます。低帯域の歪み出力のみを元の信号に追加します。このために、非線形伝達関数を変更して、着信信号ではなく歪みのみを生成します。多くの場合、高周波数の歪みの影響は聞き取れないため、このアプローチは多くの場合、オーディオには完全に十分です。$\frac{f_s}{2N}$$f$$f^{N+1}$

2. オーバーサンプリング：これはアプローチ1に似ていますが、これが必要だと思われる場合、元の信号帯域内のすべての情報が歪んだ信号に寄与することを確認するために、アップサンプリングとダウンサンプリングの追加手順が必要です。また、バックサンプリングされたスペクトルの一部がダウンサンプリングフィルターによって削除されるため、高次に歪めることもできます。つまり、係数でオーバーサンプリングした場合、次数 2 Nで始まる非線形伝達関数の導関数は消滅する必要があります。手順は、アップサンプリング、非線形伝達関数、ダウンサンプリングを適用するのと同じくらい簡単です。$N$$2N$

3. ローカル解析ソリューションの使用：滑らかな非線形伝達関数は、べき級数で記述された信号に適用できます。伝達関数をべき級数に作用させると、べき級数が元に戻ります。特定の次数の切り捨てられたべき級数と伝達関数を一定の平滑度に制限する場合、伝達関数を切り捨てられた級数の係数のマップとして記述できます。代わりに、あなたが考える fは：R N → R Mは、長さの入力級数展開取っ Nの長さの出力級数展開に$f:\mathbb{R}\to\mathbb{R}$$f:\mathbb{R}^N\to\mathbb{R}^M$$N$。この理解により、べき級数に関して入力信号の局所的な有限近似を使用し、それを出力のべき級数近似にマッピングできます。次に、出力シリーズを分析的に統合して、ボックスカーアンチエイリアスフィルターを作成し、出力サンプル値を取得できます。これらの計算はすべてシンボリックに実行できます。入力信号のローカルフィーチャを含める必要があるため、入力信号の過去の値を使用して現在の出力を生成する非線形フィルターが最終的に得られます。$M>N$

4. 制約ベースの代数設計：前の項目で、アンチエイリアスの非線形歪みが非線形フィルターにつながることを確認しました。もちろん、すべての非線形フィルターにエイリアスがないわけではありませんが、一部はそうでない場合があります。したがって、明らかな問題は、そのようなフィルタを厳密にエイリアスフリーにするための基準と、その設計方法です。判明したように、エイリアシングがないことに相当するステートメントは、非線形フィルターがサブサンプルの変換と交換するということです。したがって、最初に翻訳してからフィルタリングする場合、または最初にフィルタリングしてから翻訳する場合、違いが生じないようにする必要があります。この条件は、非常に厳しい設計制約につながります非線形フィルター用ですが、信号変換の実現方法によって異なります。たとえば、理想的な変換では、非線形フィルターに無限に多くの係数が必要になります。そのため、有限非線形フィルターを得るには、信号の変換を有限次数に近似する必要があります。エイリアスフリーネスは、使用する近似値でスケーリングされますが、非常に適切に制御できます。このアプローチの数学を学んだ後、非線形フィルターの形でほぼ理想的なデジタルモデルとして（滑らかなだけでなく）任意の非線形伝達関数を設計できます。ここでは詳細をスケッチすることはできませんが、この説明からインスピレーションを得ることができます。

帯域制限された歪みとみなされるアルゴリズムの1つは、波形整形合成に正弦波入力を使用したチェビシェフ多項式を使用することです。[第1種]チェビシェフ多項式はとして定義できます。

$$T_n(x) = \mathrm{cos}(n \, \mathrm{arccos}(x)).$$

ここでは詳しく説明しませんが、De Moivreの定理を使用して、上記の式が多項式のセットを定義する方法を示す比較的単純な導出があります（ハミングによるデジタルフィルターのセクション 7.2を参照）。三角法の定義は、それぞれがどのように見えるのかを簡単にするので便利です。$T_n(x)$

$$T_n(\mathrm{cos}(kx)) = \mathrm{cos}(n\,\mathrm{arccos}(\mathrm{cos}(kx))) = \mathrm{cos}(nkx). \tag{1}$$

多項式自体は、次の再帰関係を使用して簡単に生成できます。

$$T_0(x) = 1 \\ T_1(x) = x \\ T_n(x) = 2x\,T_{n-1}(x) - T_{n-2}(x).$$

ここに最初のいくつかがあります：

$$\eqalign{ T_0(x) &= 1 \\ T_1(x) &= x \\ T_2(x) = 2x(x - 1) &= 2x^2 - 1 \\ T_3(x) = 2x(2x^2 - 1) - x &= 4x^3 - 3x \\ T_4(x) = 2x(4x^3 - 3x) - (2x^2 - 1) &= 8x^4 - 8x^2 + 1 \\ \ldots }$$

$(1)$$T_2$$\mathrm{cos}(x)$

$$\eqalign{2\,\mathrm{cos}^2(x) - 1 &= 2\left(\frac{e^{ix} + e^{-ix}}{2}\right)^2 - 1 \\ &= \frac{2}{4}(e^{i2x} + 2e^{ix}e^{-ix} + e^{-i2x}) - 1 \\ &= \left(\frac{e^{i2x} + e^{-i2x}}{2}\right) + \frac{2}{2} - 1 \\ &= \mathrm{cos}(2x). }$$

チェビシェフシリーズを計算することにより

$$f(x) = \sum_{n = 0}^{\infty}{a_n\,T_n(x)}$$

$n$$f(x)$、単位振幅コサインに適用されると、帯域制限高調波の任意の[整数]セットを生成する）。

@ robert-bristow-johnson はこれをcomp.dspで非常に明確に説明しています：

有限の範囲でオーバーサンプリングする必要があります。（メモリレス、私は仮定します）非線形性を（実装しようとしている曲線に近似する）有限次数多項式として表す場合、多項式の次数はオーバーサンプリングの同じファクターであり、エイリアスは発生しません。次に、元のナイキストよりも高いすべての周波数成分を除去するローパスフィルター（そのオーバーサンプリングレート）、ダウンサンプリングを行うと、エイリアシングが発生しなくなります。

つまり、非線形性が多項式である場合、歪みによって生成される可能性のある最高周波数は、信号の最高周波数に多項式の次数Nを掛けたものになります。（多項式の非線形性は、信号自体にN倍するため、そのスペクトルはそれ自体と畳み込まれ、同じ比率で広がります。）

したがって、最大周波数（ナイキストまたはアプリケーションの下限）と多項式の次数を知っているので、エイリアシングを防ぐのに十分なオーバーサンプリングを行い、歪みを加えてから、ローパスフィルターとダウンサンプリングを行うことができます。

実際、ダウンサンプリングの前に削除されるバンドに含まれている限り、エイリアスを発生させることでオーバーサンプリングレートを減らすことができます。

もう1つの小さなコツは、LPFを実行するエリアに折りたたむエイリアスを気にする必要がないということです。そのため、5次多項式のオーバーサンプリング比は3だけで十分です。これらの上位2つの高調波はエイリアスされる可能性がありますが、ベースバンドには戻りません。ダウンサンプリングするとき、それらのエイリアスされた高調波をフィルタリングします。だから私は難しいと速いルールは

オーバーサンプリング比=（多項式次数+ 1）/ 2