ガウスノイズ下でのカルマン推定の統計的特性

独立したガウス状態と出力ノイズ、および初期状態の完全な推定を含む線形状態空間モデルの場合、カルマン推定には次のプロパティがありますか？どこ

E ({\hat{x}}_{k | k} - x_{k}) = 0

$E(\hat{x}_{k|k} - x_k) = 0$

P_{k | k} = V a r ({\hat{x}}_{k | k} - x_{k}), or V a r ({\hat{x}}_{k | k}), or V a r (x_{k}) ?

$P_{k|k} = Var(\hat{x}_{k|k} - x_k),\text{ or }Var(\hat{x}_{k|k}),\text{ or }Var(x_k) ?$

$x_k$ は、ランダムな時間の状態です。 $k$
$\hat{x}_{k|k}$ とはカルマンの上位、つまりカルマンフィルターの出力です。 $P_{k|k}$

これらについて言及している参考文献はありますか？

ありがとう！

kalman-filters

— ティム
ソース

ある事後時間で推定された共分散行列？実際に使用される標準的な表記法はないため、「カルマン推定値」が何を意味するのかは完全には明確ではありません。

P_{k | k}

$P_{k|k}$

k

$k$

— Jason R

@ジェイソン：はい、それは...

— Tim

回答:

次の2つのステートメントは言うことと同じです。

E ({\hat{x}}_{k | k} - x_{k}) = 0

$E(\hat{x}_{k|k} - x_k) = 0$

（1）推定量に偏りがないこと。そして

P_{k | k} = V a r ({\hat{x}}_{k | k} - x_{k})

$P_{k|k} = Var(\hat{x}_{k|k} - x_k)$

（2）推定量が一貫していること。

フィルターを最適化するには、これらの条件が両方とも必要です。つまり、いくつかの基準に関して可能な限り最良の推定値です。 $\mathbf{x}_{k|k}$

（1）が真でない場合、平均二乗誤差（MSE）はバイアスと分散（スカラーの場合）になります。明らかに、これは分散のみよりも大きいため、最適ではありません。

（2）が真でない場合（つまり、フィルターで計算された共分散が真の共分散と異なる場合）、フィルターも最適ではなくなります。カルマンゲインは計算された状態共分散に基づいているため、共分散のエラーはゲインのエラーにつながります。ゲインの誤差は、測定の重みが最適ではないことを意味します。

（たまたま、両方の条件が適切にモデル化されたフィルターに当てはまります。動的モデルやノイズ共分散などのモデリングのエラーもフィルターを最適化しません）。

出典：Bar-Shalom、特に232-233ページのセクション5.4。

— ダミアン
ソース

は確率変数ではないことに注意することが重要です。確定的であるのはシステムの状態であり、一般にで可変です。これは、と言うことと同じです $x_k$ $k$

E ({\hat{x}}_{k | k}) = x_{k}

$E(\hat{x}_{k|k}) = x_k$

E ({\hat{x}}_{k | k} - x_{k}) = 0

$E(\hat{x}_{k|k} - x_k) = 0$

また、

V a r (x_{k}) = 0

$Var(x_k) = 0$

そして、

P_{k | k} = V a r ({\hat{x}}_{k | k})

$P_{k|k} = Var(\hat{x}_{k|k})$ これは、が決定論的であるとすると、たまたま

x_{k}

$x_k$

V a r ({\hat{x}}_{k | k} - x_{k})

$Var(\hat{x}_{k|k} - x_k)$

バックグラウンド

$x_k$ は決定論的なシステム状態です。これは、ほとんどの文献で分散として表されるシステムノイズとは対照的です。さらに、一部の文献では、係数行列でシステムノイズをモデル化しています。この場合、行列は伝搬推定でに置き換えられますはノイズ係数行列です。詳しく説明すると、この場合のシステム表現は次のようになります $w$ $Q$ $Q$ $GQG^T$ $G$

x_{k + 1} = A x_{k} + B u_{k} + G w

$x_{k+1} = Ax_k + Bu_k +Gw$

参考として：カルマンの論文自身：http://160.78.24.2/Public/Kalman/Kalman1960.pdf

— アイアオ
ソース

私の知る限り、はランダムなプロセスです。の分散は、プロセスノイズによって与えられます。与えられた実現に対して、は決定論的です。

{x_{k}}_{k = - \infty}^{\infty}

$\left \{ x_k \right \}_{k=-\infty}^{\infty}$

x_{k}

$x_k$

x_{k}

$x_k$

— Royi 2013年

@Drazickプロセスノイズには通常、分散wとともに記号wが与えられます。xkはシステム状態です。状態がランダムであることは意味がありません。もう一方の推定値は確率変数であるため、理にかなっています

— aiao

x_{k + 1}

$x_{k+1}$

G w

$Gw$

x_{k + 1}

$x_{k+1}$

w

$w$

k

$k$

x_{k | k} \sim N ({\hat{x}}_{k | k}, P_{k | k})

$\mathbf{x}_{k|k} \sim N\left( \hat{\mathbf{x}}_{k|k}, \mathbf{P}_{k|k}\right)$