フーリエ変換4回=元の関数（Bracewellの本から）

私は、フーリエ変換に関する優れた入門書である、ロナルド・ブレイスウェルによる「フーリエ変換とその応用」をざっと眺めていました。その中で、関数のFTを4回取ると、元の関数、つまり

$$F\left( F\left( F\left( F\left( g(x) \right) \right) \right) \right) = g(x)\,.$$

誰かが私にこれがどのように可能であるかを親切に教えてもらえますか？上記のステートメントは複素数xに関するものであり、これは、、、、？$i^0=1$$i^1=i$$i^2=-1$$i^3 = -i$$i^4=1$

啓発ありがとうございます。

非ユニタリフーリエ変換を使用します（ただし、これは重要ではなく、単なる設定です）。

$$X(\omega)=\int_{-\infty}^{\infty}x(t)e^{-i\omega t}dt\tag{1}$$

$$x(t)=\frac{1}{2\pi}\int_{-\infty}^{\infty}X(\omega)e^{i\omega t}d\omega\tag{2}$$

ここで、（1）はフーリエ変換、（2）は逆フーリエ変換です。

今、あなたは正式のフーリエ変換を取る場合あなたのget$X(\omega)$

$$\mathcal{F}\{X(\omega)\}=\mathcal{F}^2\{x(t)\}=\int_{-\infty}^{\infty}X(\omega)e^{-i\omega t}d\omega\tag{3}$$

（3）と（2）を比較すると

$$\mathcal{F}^2\{x(t)\}=2\pi x(-t)\tag{4}$$

そのため、フーリエ変換は、独立変数の符号変更を伴う逆フーリエ変換に等しくなります（非ユニタリフーリエ変換の使用によるスケールファクターは別として）。

のフーリエ変換はに等しいため、（4）のフーリエ変換は$x(-t)$$X(-\omega)$

$$\mathcal{F}^3\{x(t)\}=2\pi X(-\omega)\tag{5}$$

そして、（3）と（4）で使用されたものと同様の引数により、のフーリエ変換は等しくなります。したがって、（5）のフーリエ変換について$X(-\omega)$$2\pi x(t)$

$$\mathcal{F}^4\{x(t)\}=2\pi\mathcal{F}\{X(-\omega)\}=(2\pi)^2x(t)\tag{6}$$

これは望ましい結果です。（6）の係数は、非ユニタリフーリエ変換を使用した結果であることに注意してください。ユニタリーフーリエ変換（変換とその逆の両方で係数得られる場合）を使用すると、この係数は消えます。$(2\pi)^2$$1/\sqrt{2\pi}$

要するに、無関係な一定の要因は別として、あなたは

$$x(t)\overset{\mathcal{F}}{\Longrightarrow} X(\omega)\overset{\mathcal{F}}{\Longrightarrow} x(-t)\overset{\mathcal{F}}{\Longrightarrow} X(-\omega)\overset{\mathcal{F}}{\Longrightarrow} x(t)$$