楕円を2Dデータに合わせる方法

次のような連続した、おそらく凹状の形状に対する楕円の「最適な」適合を見つけたいのですが。

何を試しましたか？

私は1つがメジャーとマイナーの軸の方向に割り当てることができると思った座標にピクセル値をマッピングすることにより、楕円の、平均減算、およびPCAから最大2個の固有ベクトルを節約します。は方向を見つけるのにかなりうまくいくようです：$\vec a, \vec b$

私の問題は、これら2つのベクトルの長さを決定することです。ここでは、PCAの固有値からを使用しました。これは長さを過小評価しているようです。をどのように判断できますか 、およびまたは、代わりに楕円をこれらの形状に最適化しますか？$\sqrt \lambda_1$ $\sqrt \lambda_2$$|\vec a|$$|\vec b|$

削除した回答のフォローアップ...塗りつぶした楕円を取り、すべてのポイントを軸に投影すると、円形の分布で、より多くのポイントが極値よりも原点の近くに投影されます。ガウス分布ではなく、削除された回答の1次元アナロジーで述べた均一分布でもありません。結果の分布には、実際にはpdfがあり、そこから標準偏差があることを計算できます。$x$$p(x) = \sqrt{(1 - (\frac{x}{r})^2)}$$\frac{r}{2}$

したがって、半径楕円（軸は軸と軸）の内部にデータが均一に分布している場合、座標の標準偏差はであり、座標の標準偏差です。ある。したがって、使用する必要がある補正係数は単純に2です。$a, b$$x$$y$$x$$\frac{a}{2}$$y$$\frac{b}{2}$

以下は、内部からランダムにサンプリングされた点から楕円の中心（変換行列）、回転行列、および半径を回復するPythonで動作する例です。

import numpy

# Generate some points distributed uniformely along an ellipse
x = 2 * (numpy.random.rand(10000, 1) - 0.5)
y = 2 * (numpy.random.rand(10000, 1) - 0.5)
d = (x / 0.5) ** 2 + (y / 0.25) ** 2
inside = numpy.where(d < 1)[0]
x = x[inside]
y = y[inside]
data = numpy.hstack((x, y)).T

# Now rotate by 0.5 rad and translate it to (4, -8)
angle = 0.5
rotation = numpy.array([
    [numpy.cos(0.4), -numpy.sin(0.4)],
    [numpy.sin(0.4), numpy.cos(0.4)]])

data = numpy.dot(rotation, data)
data[0, :] += 4
data[1, :] -= 8

# Step 1: center the data to get the translation vector.
print 'Translation', data.mean(axis=1)
data -= numpy.reshape(data.mean(axis=1), (2, 1))

# Step 2: perform PCA to find rotation matrix.
scatter = numpy.dot(data, data.T)
eigenvalues, transform = numpy.linalg.eig(scatter)
print 'Rotation matrix', transform

# Step 3: Rotate back the data and compute radii.
# You can also get the radii from smaller to bigger
# with 2 / numpy.sqrt(eigenvalues)
rotated = numpy.dot(numpy.linalg.inv(transform), data)
print 'Radii', 2 * rotated.std(axis=1)

Fitzgibbonらによる楕円の直接最小二乗フィッティングを確認してください。これは単純な固有値問題であり、そのサイズはサンプルのピクセル数に比例しません。スローするピクセル数に依存する唯一のステップは、まだである散布行列の計算です。$O(n)$