自動回帰とカルマンフィルターのさまざまな状態空間表現

ARモデルを状態空間表現に書き込むにはさまざまな方法があるので、カルマンフィルターを適用して信号を推定できるようになっています。例1、2及び3を参照してくださいここに。

カルマンフィルターによる推定の状態空間表現の違いは何ですか？

ありがとう！

残念ながら、カルマンフィルターについてはよく知りませんが、状態空間についてはお手伝いできると思います。

例1では、ARモデルは、出力の古き良きDSP再帰的な定義です。

$$y_t = \alpha + \phi_1y_{t-1} + \phi_2y_{t-2} + \eta_t$$

この場合、上記の方程式と直接対応する状態空間モデルを書き留めます。

$$\begin{pmatrix}y_t \\ y_{t-1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\phi_1 & \phi_2 \\ 1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}y_{t-1} \\ y_{t-2} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}\alpha \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1 \\ 0 \end{pmatrix}\eta_t$$

この場合、システムの状態は現在および以前の出力値です。

2番目の例では、状態を出力値から分離しています。つまり、出力値に直接マッピングされていても、状態は何でもかまいません。このようにして$c$

$$y_t = \mu + c_t$$

$$c_t = \phi_1c_{t-1} + \phi_2c_{t-2} + \eta_t$$

したがって

$$\begin{pmatrix}c_t \\ c_{t-1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\phi_1 & \phi_2 \\ 1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}c_{t-1} \\ c_{t-2} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1 \\ 0 \end{pmatrix}\eta_t$$

また、これを線形システムの標準の状態空間表現として認識する必要があります。これは、状態進化と状態依存出力の方程式が2つの異なる方程式であるためです。この分離は、ARモデルの場合は取るに足らないものですが、この後者の表記は、すべての線形状態空間モデルを一般的に考える方法です。

$\phi_1$$\phi_2$$\alpha$

2つの線形システムは、基底が変化するまで同一であることに注意してください。これは、同じ線形システムを表すために異なる基準を選択できることを意味します。これが、2番目から3番目の例に進むために私たちが行ったこととまったく同じであることを納得してください。特に、この線形変換が状態遷移行列を転置するのが好きなので、未知の状態を取得し$\boldsymbol{s}$

$$y_t = \begin{pmatrix}1 & 0\end{pmatrix} \boldsymbol{\alpha_t}$$

$$\boldsymbol{\alpha_t} = \begin{pmatrix}s_t \\ s_{t-1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}\phi_1 & \phi_2 \\ 1 & 0\end{pmatrix}\begin{pmatrix}s_{t-1} \\ s_{t-2} \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}\alpha \\ 0 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix}1 \\ 0 \end{pmatrix}\eta_t$$

これで、基底の変化を使用して、この状態のが状態に関してどのようになる必要があるかを見つけることができます。そして、それを計算して$\boldsymbol{s}$$\boldsymbol{y}$

$$\begin{pmatrix}s_t \\ s_{t-1}\end{pmatrix} = \begin{pmatrix}y_t \\ \phi_2 y_{t-1}\end{pmatrix}$$

この形式（可制御正準形式の転置）は、可観測正準形式と呼ばれます。この形式でシステムを配置できれば、出力を確認するだけで、システムのどの状態を監視できるかを簡単に推測できるためです。正規形の説明については、このドキュメントを読んでください。もちろん、Webを見て回ることができます。このドキュメントでは、状態が上下逆になっていることに注意してください。これは、システム表現については何も変更せず、行列の行/列を並べ替えるだけです。

要するに、それはすべて、推定しようとしているもの、つまり信号について知っていることとそうでないことに依存します。カルマンフィルターは、状態の定義に基づいて状態を推定しようとします。従来の問題は、AR係数を推定しようとするときです。

定数項ないモデルの例を見てみましょう。$AR(2)$$\mu$

$$y_k = a_1y_{k-1} + a_2y_{k-2} + \eta_k$$

上記のシステムを推定するには、AR係数および推定するだけです。$a_1$$a_2$

一般的なカルマンフィルター状態空間の設定：

$${\bf x}_{k} = {\bf F}_{k-1}{\bf x}_{k-1} + {\bf w}_k$$ $${\bf y}_{k} = {\bf H}_{k}{\bf x}_{k} + {\bf v}_k$$ ${\bf w}_k= WGN(0, Q^s)$ および${\bf v}_k= WGN(0, Q^o)$

この場合、とを推定する必要があります。したがって、これらの係数として状態を設定するのは自然です。この例では、これらの係数は定数です（）そしてこれらの係数にもノイズはありません->。$a_1$$a_2$${\bf x}_k = [a_1, a_2]^T$${\bf F}_{k} ={\bf F}_{k-1} = {\bf I}$${\bf w}_k = {\bf 0} \implies Q^s = {\bf 0}$

観測するのは、これらはシステムの測定値になります。状態ベクトルとはすでに定義されているため、測定方程式が与えられたARモデルと等しくなるように、測定ノイズをおよび。$y_k$${\bf v}_k$$\eta_k$${\bf H}_{k} = [y_{k-1}, y_{k-2}]$

$${\bf x}_{k} = {\bf x}_{k-1} = \begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \end{bmatrix}$$ $$y_k = {\bf H}_{k}{\bf x}_{k} + \eta_k = \begin{bmatrix} y_{k-1} & y_{k-2} \end{bmatrix}\begin{bmatrix} a_1 \\ a_2 \end{bmatrix} + \eta_k$$

これで、カルマンフィルターを使用して状態を推定し、結果として信号を推定できます。

注：ここで唯一奇妙なのは、行列測定値依存すること。一部の人々は、カルマンゲインと状態共分散行列は常に測定に依存せず、事前に計算できると誤解しています。このケースは、そうではないことを明確に示しています。カルマンゲインと状態共分散行列はどちらも、この場合は測定に依存する関数で推定されます 。${\bf H}_k$$y_k$${\bf H}_k$