問題。

離散信号$f[i]$（以下の例）。は加法性ホワイトガウスノイズを含む矩形パルスの形をしている

ことが知られています。$f[i]$

$f[i] = s[i] + n[i]$、
$s[i] = \alpha(\theta[i - i_{1}] - \theta[i - i_{2}]) + c$、
$i_{2} > i_{1}$、
$i_{1} > N$

ここで、はヘビサイドステップ関数、は加法性ホワイトガウスノイズ、は矩形パルスの高さ、は矩形パルスの最初のサンプルのインデックス、は矩形パルスの最後のサンプルのインデックス、は一定レベルの信号、は調整可能なパラメーターです。
$\theta[i]$
$n[i]$
$\alpha$
$i_{1}$
$i_{2}$
$c$
$N$

すべてのパラメータには、広範囲の値が含まれる場合があります。（サンプル内の矩形パルスの持続時間
値を見つける必要があります$(i_{2} - i_{1})$。

可能な解決策。

現在、私はこの問題を解決するために2つの方法を試しました。

しきい値付きローパスフィルター。

最初の試みとして、ローパスフィルターとしきい値を使用した単純なスキームを使用しました。
1.カットオフ周波数が等しいFIRローパスフィルターを適用します。 2. 信号の最初のサンプルから、フィルター処理されたノイズの平均と分散を推定します。 3.しきい値ます。 4.推定します。 5.推定します。$0.05f_{sampling}$
$m$$\sigma^{2}$$N$
$t = m + 3\sigma$
$i_{1} = \min_{i}(f[i] > t)$
$i_{2} = \max_{i}(f[i] > t)$

長所：
1.このアルゴリズムは単純です。
2.高速実装を書くのは簡単です。

短所：
1.フィルターのカットオフ周波数の効率的な値を推定することは困難です。一方、値が小さいと、短いパルスの形が崩れる可能性があります。一方、値が大きいと、ろ過の効果が低下します。
2.アルゴリズムはすべての情報を使用しているわけではありません。信号についてです。

回帰分析

2番目の試みとして、サンプルの入力シーケンスを関数近似しようとしました。$s'[i]$

$s'[i] = \alpha(\theta'[i - i_{1}] - \theta'[i - i_{2}]) + c$、、ここでは小さなパラメータです。
$\theta'[i] = \frac{1}{1+e^{-\frac{i}{\beta}}}$$\beta$

概算では、コスト関数を最小化するために勾配降下法を使用した最小二乗法を使用しました。
1.、、、初期値を設定します。 2.勾配降下を実行します。 3.しきい値ます。 4.推定します。 5.推定します。$\alpha$$c$$i_{1}$$i_{2}$

$t = c + 0.5\alpha$
$i_{1} = \min_{i}(f[i] > t)$
$i_{2} = \max_{i}(f[i] > t)$

長所：
1.このアルゴリズムは、精度の高い結果を提供します。
2.幅広い期間で動作します。

短所：
1.非常に遅い。

質問。

結局のところ、私は最初のアルゴリズムの精度と2番目のアルゴリズムの速度に満足していません。この問題をどのように解決しますか？
見つけられなかった古典的な解決策はありますか？
アイデア、リンク、フィードバックは大歓迎です。
ありがとうございました。

エッジを維持しながらノイズを除去する方法が必要です。あなたが気づいたように、これは線形フィルタリングではうまく達成できません。私はあなたの問題にうまくいくかもしれない2つのアプローチを知っています。1つは中央値フィルタリングで、ウィンドウ内のサンプルが中央値に置き換えられます。次のプロットは、ウィンドウの長さが25サンプル（赤）の中央値フィルタリングの結果を示しています。

もう1つの、より複雑なアプローチは、総変動ノイズ除去です。これは、区分的に一定の信号に対して非常によく機能します。利用可能なMatlabコードを含む、完全なバリエーションのノイズ除去の非常に優れた説明があります：リンク。

私はこれが非常に古いことを知っており、@ Matt L.が長い間、優れた有益な回答を提供してくれました。完全なバリエーションのノイズ除去が存在することを知りませんでした。したがって、私は質問と回答の両方に賛成票を投じ、そのような少しの何かをサイトに返したいと思います。基本的な考え方は、古いRC LPFの単純なデジタルバージョンを使用し、ステップが発生したときの「時定数」を大幅に削減することです。次に、ステップの後、「時定数」を大幅に増やします。注：以下に示すように、「時定数」は実際には一定ではありません。

下の図は、OPの一般的なノイズの多い矩形パルスの例を再現しようとする試みと、「逆微分」ローパスフィルター（以下、RD-LPFと表記）の動作を示しています。

RD-LPFは単純にであり、および私はを使用しました。クリーンな矩形パルスはt = 3で始まり、パルス幅が3である単位振幅を持ちました。加法性ホワイトガウスノイズはおよびでした。$y[i] = Ay[i-1] + (1-A)x[i]$$A = exp(-K|y[i-1] - x[i]|)$$K = 0.2$$\mu = 0$$\sigma = 0.3$

次の図は、RD-LPF出力（赤いトレース）と（Matt L.の回答に従って）25ポイント移動中央値フィルターの出力（青いトレース）を比較しています。

RD-LPFを深刻なものに使用するつもりはありませんが、この小さな比較でRD-LPFが破壊されるかどうか知りたいと思っていました。明らかに、そうではありません。