分離可能な整数2Dフィルター係数を分解する高速/効率的な方法

整数係数の特定の2Dカーネルが整数係数を持つ2つの1Dカーネルに分離可能かどうかをすばやく判断できるようにしたいと思います。例えば

 2   3   2
 4   6   4
 2   3   2

に分離可能です

 2   3   2

そして

 1
 2
 1

分離可能性の実際のテストは、整数演算を使用するとかなり簡単に思えますが、整数係数を使用した1Dフィルターへの分解はより困難な問題であることが判明しています。困難は、行または列間の比率が非整数（有理数）である可能性があるという事実にあるようです。たとえば、上記の例では、比率が2、1 / 2、3 / 2、および2/3です。

SVDのようなヘビーデューティアプローチを使用したくないのは、（a）ニーズに対して比較的計算コストが高く、（b）整数係数を決定するのに必ずしも役に立たないためです。

何か案は ？

さらに詳しい情報

係数は正、負、またはゼロの場合があり、いずれかまたは両方の1Dベクトルの合計がゼロである病理学的な場合があります。例えば

-1   2  -1
 0   0   0
 1  -2   1

に分離可能です

 1  -2   1

そして

-1
 0
 1

私は@Phonon答えを取り、行/列の合計ではなく一番上の行と左の列だけでGCDアプローチを使用するようにそれをいくらか修正しました。これは病理学的なケースをもう少し良く処理するようです。上の行または左の列がすべてゼロの場合でも失敗する可能性がありますが、この方法を適用する前にこれらのケースをチェックできます。

function [X, Y, valid] = separate(M)    % separate 2D kernel M into X and Y vectors 
  X = M(1, :);                          % init X = top row of M
  Y = M(:, 1);                          % init Y = left column of M
  nx = numel(X);                        % nx = no of columns in M
  ny = numel(Y);                        % ny = no of rows in M
  gx = X(1);                            % gx = GCD of top row
  for i = 2:nx
    gx = gcd(gx, X(i));
  end
  gy = Y(1);                            % gy = GCD of left column
  for i = 2:ny
    gy = gcd(gy, Y(i));
  end
  X = X / gx;                           % scale X by GCD of X
  Y = Y / gy;                           % scale Y by GCD of Y
  scale = M(1, 1) / (X(1) * Y(1));      % calculate scale factor
  X = X * scale;                        % apply scale factor to X
  valid = all(all((M == Y * X)));       % result valid if we get back our original M
end

感謝@Phononし、@Jason Rこのためのオリジナルのアイデア。

とった！MATLABコードを投稿すると、今夜または明日、説明が投稿されます

% Two original arrays
N = 3;
range = 800;
a = round( range*(rand(N,1)-0.5) )
b = round( range*(rand(1,N)-0.5) )

% Create a matrix;
M = a*b;
N = size(M,1);

% Sanity check
disp([num2str(rank(M)) ' <- this should be 1!']);

% Sum across rows and columns
Sa = M * ones(N,1);
Sb = ones(1,N) * M;

% Get rid of zeros
SSa = Sa( Sa~=0 );
SSb = Sb( Sb~=0 );

if isempty(SSa) | isempty(SSb)
    break;
end

% Sizes of array without zeros
Na = numel(SSa);
Nb = numel(SSb);

% Find Greatest Common Divisor of Sa and Sb.
Ga = SSa(1);
Gb = SSb(1);

for l=2:Na
    Ga = gcd(Ga,SSa(l));
end

for l=2:Nb
    Gb = gcd(Gb,SSb(l));
end

%Divide by the greatest common divisor
Sa = Sa / Ga;
Sb = Sb / Gb;

%Scale one of the vectors
MM = Sa * Sb;
Sa = Sa * (MM(1) / M(1));

disp('Two arrays found:')
Sa
Sb
disp('Sa * Sb = ');
Sa*Sb
disp('Original = ');
M

たぶん私は問題を平凡にしていますが、それはあなたができるようです：

• $N$$M$$\mathbf{A}$$\mathbf{a_i}$$i = 0, 1, \ldots , N-1$

• $j > 0$

  • $\mathbf{a_j}$$\mathbf{a_0}$$j$$\mathbf{r_j}$
  • $\mathbf{r_j}$
  • $\mathbf{r_j}$$\mathbf{a_j}$$\mathbf{a_0}$$j$$0$$\mathbf{x}$
  • $\mathbf{a_j}$$\mathbf{a_0}$

• $\mathbf{x}$

• $\mathbf{x_{norm}}$ $$\mathbf{x_{scaled}} = K\mathbf{x_{norm}}, K = 1, 2, \ldots, M$$ $K$$M$

最もエレガントな方法ではなく、より良い方法がある可能性がありますが、動作し、実装が非常に簡単で、適度なサイズのマトリックスでは比較的高速である必要があります。

$x \otimes y \otimes z$$A$$|A - x \otimes y \otimes z|$
$x\ y\ z$
$y$$z$$x$$x\ y\ z\ x\ y\ z\ ...$ 順番に。

（ math.stackexchangeの分離可能な畳み込みの近似畳み込みから。）