マルチレートフィルタリングの基礎を理解する

マルチレートフィルタリングの基本的な概念の一部を理解できません。さまざまな情報源から、マルチレートフィルターの基本的なビルディングブロックは、ダイアディック分析および合成ブロックであることがわかります。

• 質問1：

  分析ブロックの構造は次のようになります。この場合、広帯域信号はローパスバンドとハイパスバンドに分割され、それぞれカットオフはFS / 4（ナイキスト/ 2）です。次に、各バンドは2の係数で間引きされます。

  

  新しい間引きサンプルレートのナイキスト限界を超える周波数情報が含まれている場合、高周波帯域の信号をどのように正確に表すことができますか？

• 質問2：

  分析ブロックの構造は次のようになります。サブバンド信号が補間され、再フィルター処理されてから合計されます。

  

  2番目のフィルタリングの目的は何ですか？

最初に質問2に答えます。うまくいけば、それが質問1で何が起こっているのかを説明するのに役立ちます。

ベースバンド信号をサンプリングすると、下の図に示すように、サンプリング周波数のすべての整数倍でベースバンド信号の暗黙のエイリアスがあります。 ベタ画像は元のベースバンド信号であり、エイリアスは破線の画像で表されます。サンプリング周波数の奇数倍で発生する反転を実証するために、非対称（つまり、複雑な）信号を選択しました。

「エイリアスは本当に存在しますか？」少し哲学的な質問です。はい、数学的には存在します。これは、すべてのエイリアス（ベースバンド信号を含む）が互いに区別できないためです。

元のサンプルの間にゼロを挿入してアップサンプリングすると、サンプリングレートがアップサンプリングレートだけ効果的に増加します。したがって、2倍にアップサンプリングする（各サンプルの間に1つのゼロを置く）と、サンプリングレートとナイキストレートが2倍に増加し、次の図のようになります。

ご覧のとおり、以前のイメージの暗黙的なエイリアスの1つが明示的になっています。サンプルをFFTすると、表示されます。DFT変換が根本的に変化しないという厳密でない証明を以下に示します。

2つの明示的なエイリアスができたので、ベースバンドエイリアスだけが必要な場合は、ローパスフィルターを使用して他のエイリアスを取り除く必要があります。ただし、他のエイリアスを使用して変調を行う場合もあります。その場合、ベースバンド信号を取り除くためにハイパスフィルターを使用します。それが質問2の答えになることを願っています。

質問1は基本的に質問2の逆です。2番目の図に示されている状況にすでにいるとします。必要なベースバンド信号を取得するには、2つの方法があります。1つ目の方法は、ローパスフィルター（それにより、より高いエイリアスを取り除く）を行い、次に2倍に間引きする方法です。これで、写真1に進みます。

2番目の方法は、ハイパスフィルター（ベースバンドエイリアスを除去）してから、2倍に間引きする方法です。これが機能する理由は、意図的に信号をベースバンドにエイリアスしているため、もう一度、画像1に到達するためです。

なぜあなたはそれをそのようにしたいのですか？ほとんどの場合、信号は同じではないため、必要な信号を選択するか、両方を個別に行うことができます。

マルチレート処理を研究している場合は、フレデリックハリスによる「通信システム用マルチレート信号処理」を入手することを強くお勧めします。彼は数学を無視することなく理論を説明し、多くの実用的なアドバイスも与えるという本当に良い仕事をしています。

編集：ナイキストレート未満で意図的に信号をサンプリングすることをアンダーサンプリングと呼びます。以下は、アップサンプリングしてもFFTが変化しない理由を数学的に説明する私の試みです。「x [n]」は元のサンプルのセット、「u」はアップサンプリング係数、「x '[n]」はアップサンプルされたサンプルのセットです。

$$\begin{eqnarray*} X[k] &=& \sum_{n=0}^{N-1} x[n]e^{-i2\pi kn/N}\\ X'[k] &=& \sum_{n=0}^{uN-1} x'[n]e^{-i2\pi kn/uN} , \{ &x&'[n] = 0, n \neq mu, m \in (0..N-1)\\ &x&'[n] = x[n/u], n = mu\\ &=& \sum_{n=0}^{N-1} x'[un]e^{-i2\pi kun/uN}\\ &=& \sum_{n=0}^{N-1} x[n]e^{-i2\pi kn/N}\\ &=&X[k] \end{eqnarray*}$$

醜いフォーマットの謝罪。私はLaTex初心者です。

編集2：x [n]とx '[n]のDFTは完全に同一ではないことを指摘しておかなければなりません。サンプルレートが高く、回答の前の部分で説明したように、エイリアスが「公開」されます。私は非数学者の方法で、DFTはサンプルレートは別として同じであることを指摘しようとしました。