z変換発見

したがって、コサイン部分を接続することを意図している$z$か、厳密に一部であるかを判断しようとしています$h[n]$。（番号aはオープンユニットディスクにあります）

つまり、すべてが一部であると確信していましたが、z変換を実行すると、この有理関数が得られました。$h[n]$

$$\frac{1 - a\cos(2\pi\frac{f_0}{F_s})z^{-1}}{1-2a\cos(2\pi\frac{f_0}{F_s})z^{-1} + a^2z^{-2}}$$

次に、極と零点を評価することになっています。余弦部分を無視すると、zまでの因数分解と簡略化が行われるこの本当に素晴らしい有理式が得られます。。 $\displaystyle\frac{z}{z-a}$

そのため、私は物事を正しく理解していない可能性があり、コサイン部分はか何かに接続されているはずだと思いました。誰かがこれを私のために明確にできますか？$z$

時間領域信号（またはインパルス応答）

$$h(n)=a^{n}\cos n\theta_0,\quad \theta_0=2\pi\frac{f_0}{f_s},\; n\ge 0$$

これは非常に一般的です。これは、減衰する正弦波関数（$|a|<1$仮定）であり、これは2次線形時不変システムの1つの可能な応答であるため、頻繁に発生します。疑問については、コサイン部分は時間領域信号の一部であることは間違いありません。極と零点は、$H(z)$書き換えることによって見つけることができます。

$$\begin{align}H(z)&=\frac{1-az^{-1}\cos \theta_0}{1-2az^{-1}\cos\theta_0+a^2z^{-2}}\\&= \frac{z(z-a\cos \theta_0)}{z^2-2az\cos\theta_0+a^2}\end{align}\tag{1}$$

（1）から、のゼロを決定することは容易である$H(z)$：

$$z_{0,0}=0\quad z_{0,1}=a\cos\theta_0$$

極を決定するために、$H(z)$を部分分数展開として記述します。

$$H(z)=\frac{1}{2}\left [ \frac{1}{1-ae^{j\theta_0}z^{-1}} + \frac{1}{1-ae^{-j\theta_0}z^{-1}} \right ]\tag{2}$$

（2）から、我々は極がで与えられていることがわかり

$$z_{\infty,0}=ae^{j\theta_0}\quad z_{\infty,1}=ae^{-j\theta_0}$$ $h(n)$$h(n)$$|a|<1$

$x(n) = a^ncos(nθ)u(n)...$