ハイゼンベルクの不確実性原理を平等として書くことができるのはいつですか？

私たちは、ハイゼンベルグの不確定性原理は、と述べていることを知っている

$$\Delta f \Delta t \geq \frac{1}{4 \pi}.$$

しかし、（多くの場合、Morletウェーブレットの場合）不平等が平等に変わったことがわかりました。我々は平等に不平等を変更することが許可されていたときに今、私の質問は：

$$\Delta f \Delta t = \frac{1}{4 \pi}$$ why =

幅の時間と頻度を定義することが重要であるとΔのω不確定性原理の特別な形式を議論する前に、信号のを。これらの数量の一意の定義はありません。適切な定義を使用すると、ガウス信号のみが不確実性原理を等しく満たすことが示されます。$\Delta_t$$\Delta_{\omega}$

フーリエ変換F （ω ）が満たされる信号を考えます$f(t)$$F(\omega)$

$$\int_{-\infty}^{\infty}f^2(t)dt=1\quad\textrm{(unit energy)}\\ \int_{-\infty}^{\infty}t|f(t)|^2dt=0\quad\textrm{(centered around }t=0)\\ \int_{-\infty}^{\infty}\omega|F(\omega)|^2d\omega=0\quad\textrm{(centered around }\omega=0)$$

これらの条件はいずれも実際には制限事項ではありません。それらはすべて、適切なスケーリング、変換、変調によって満たすことができます（有限のエネルギーを持つ信号の場合）。

次のように時間と周波数の幅を定義する場合

$$\Delta_t^2=\int_{-\infty}^{\infty}t^2|f(t)|^2dt\\ \Delta_{\omega}^2=\int_{-\infty}^{\infty}\omega^2|F(\omega)|^2d\omega$$

その後、不確実性の原則は

$$\Delta_t^2\Delta_{\omega}^2\ge\frac{\pi}{2}\tag{2.6.2}$$

（が1 / √より速く消失する場合$f(t)$場合はt→±∞）$1/\sqrt{t}$$t\rightarrow\pm\infty$

ここで、不等式はガウス信号の等式で満たされます

$$f(t)=\sqrt{\frac{\alpha}{\pi}}e^{-\alpha t^2}\tag{2.6.3}$$

上記の方程式番号は、VetterliとKovacevicによるウェーブレットとサブバンドコーディング（p.80）からの以下の証明に対応しています。

この背後にあるすべての理論を説明することはできません（文字通り本を埋めるので）が、ハイゼンベルグはまさにこの信号ファミリーの正確な平等になることがわかります。

$$s_{t_0,\omega_0,\sigma,\phi,\gamma}(t) = \exp\left(-\left(\frac{t-t_0}{\sigma}\right)^2 + i \left(\phi + \omega_0 (t-t_0) + \gamma (t-t_0)^2\right)\right)$$

ここで、すべてのパラメーターは実数です。このファミリーは、単一のGaborアトムからの時間周波数の2次シンプレクトモルフィズムによって生成されます。これらのシンプレクトモルフィズムは、ハイゼンベルグの不確実性の関係を保持します。

$\Delta F \cdot \Delta T$$\gamma$

ただし、時間周波数領域の概念は、時間軸と周波数軸と整列していない形状の領域を測定するために一般化できます。つまり、FとTの間の不確実性積の代わりに、FとTにまたがる任意の2つの共役変数の最小不確実性積を測定します。あなたが最低限。

不確実性の原理は、解像度の理論的限界を設定するため、平等として書かれることはありません。

発生している等値性関係は、特定の分析コンテキストと分析実装のためのものです。この場合、コンテキストは信号分析であるため、時間/周波数は対象の共役変数であり、実装は使用中の特定のウェーブレットです。

等式関係は、異なる分析実装間で解像度を比較する方法を提供します。これらの関係を解釈するときは、解像度の定義はそうではないが、変化する可能性があるため、注意が必要です。

2つのことを定義したら、等式関係が適切です。1）解像度の数学的意味。2）分析方法（この場合、ウェーブレットの選択）。