ディラックデルタの逆CTFTは存在しますか？

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ディラックデルタ（単一の因果的/非因果的スパイク）の逆連続時間フーリエ変換は存在しますか？

continuous-signals

— ミハイル
ソース

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関連への回答を参照してください。最近の質問もラジアン周波数変数に対するペアを変換する一般的なフーリエ変換のテーブルを使用する方法を教えてくれますmath.SE上の周波数変数に対するペアをフーリエ変換を得ることがラジアン/秒中をヘルツ。時間または周波数のインパルスの特定のケースでは、キーはふるい分け プロパティです：

ω

$\omega$

f

$f$

\int_{- \infty}^{\infty} x (y) δ (y - a) d y = x (a) if x (y) is continuous at a .

$\int_{-\infty}^{\infty} x(y) \delta(y-a)\mathrm dy = x(a) ~ \text{if}~x(y)~\text{is continuous at}~a.$

— Dilip Sarwate、2012

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はい、これは、デルタの「位置」によって決定される周波数での複素指数（入力は）。逆フーリエ変換の積分を記述し、の定義を使用すると、この特定の周波数で複素指数が積分されることを「選択」することがわかります。 $e^{2 \pi i f_0 t}$ $f_0$ $\delta(f - f_0)$ $\delta$

— ピケネット
ソース

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これは、このような一般的なフーリエ変換の表でよく見られる非常に重要な変換です。

— Jason R

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補足として：順方向と逆フーリエ変換はほとんど同じものです。たとえば、あるドメインの長方形は、他のドメインのsin（x）/ xに対応します（時間で始まるか周波数で始まるかに関係なく）。同じことがデルタにも言えます。一方のドメインのインパルスは、もう一方のドメインの複素指数に対応します。

次のように、逆FFT（フォワードFFTに基づく）を実装できます。

共役を取る
フォワードFFT
再び抱合を取る
シーケンスの長さで割る

このようなMatlabでは

n = 1024;
x0 = randn(n,1) + j*rand(n,1); % random sequence
fx = fft(x0);  % take the FFT
x1 = conj(fft(conj(fx)))/n; % inverse fft based on fw fft
% print an error metric how close we got to the orginal signal
fprintf('Error = %6.2f dB\n', 10*log10(sum( (x1-x0).* conj(x1-x0))./sum(x0.*conj(x0))));

— ヒルマー
ソース

上記のステップ4は、必ずしもそうではないため、上記のリストには含めません。DFT / IDFTでのスケーリングの処理方法について合意された単一の概念はありません。あなたが示したものはMATLABの実装で機能しますが、別の人がによる除算を必要としない可能性があります。

N

$N$

— Jason R

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それは本当だ。Matlabのスケーリングはおそらく最も一般的です（そしてほとんどの教科書で見られます）。順方向と逆方向の両方の1 / sqrt（N）は、Parsevalの定理の最もクリーンなバージョンを保証する方がよいでしょう。つまり、時間領域のエネルギーは周波数領域のエネルギーと等しくなります。

— ヒルマー、2012