STFTおよびDWT（ウェーブレット）

STFTは、いくつかの周波数領域の変更（例：ノイズ除去）を行うために、サウンドデータ（たとえば、.wavサウンドファイル）で正常に使用できます。（すなわち、10秒サンプリングレートで）、 、、STFTは近似的生成（：時間枠を、第2座標：周波数ビンを第1の座標）配列。この配列に対して変更を行うことができ、オーバーラップ加算（*）を使用して再構成を行うことができます。
N=441000fs=44100windowsize=4096overlap=4430x4096

ウェーブレットで同様のことをどのように行うことができますか？（DWT）、つまりa x b、a時間フレームとb周波数ビンを備えた同様の形状の配列を取得し、この配列に何らかの変更を加え、最後に信号を復元しますか？どうやって ？overlay-addと同等のウェーブレットとは何ですか？ここに含まれるPython関数は何ですか（オーディオの変更の簡単な例は見つかりませんでしたpyWavelets...）？

（*）：使用できるSTFTフレームワークは次のとおりです。

signal = stft.Stft(x, 4096, 4)    # x is the input
modified_signal = np.zeros(signal.shape, dtype=np.complex)

for i in xrange(signal.shape[0]):    # Process each STFT frame
    modified_signal[i, :] =  signal[i, :] * .....  # here do something in order to
                                                   # modify the signal in frequency domain !
y = stft.OverlapAdd(modified_signal, 4)   # y is the output

目標は、ウェーブレットを持つ同様のフレームワークを見つけることです。

短時間フーリエ変換は一般に冗長な変換であり、通常はすべての周波数で同じサブサンプリングで実装されます。ウィンドウが適切に選択されていれば、ウィンドウは完全です。ウィンドウを反転し、初期信号を回復できます。

冗長で完全であるため、多くの完全な逆関数があります。より一般的なツール（オーバーサンプリング）複雑なフィルターバンクを使用して実装および理解できます。ウィンドウのタイプと長さに加えてオーバーラップが与えられると、可逆かどうかを計算できる分析フィルターバンクが提供されます。もしそうなら、あなたは自然な逆数と最適化された逆数を計算することができます。オーバーラップ加算は、多くの可能性のある逆関数の1つであり、おそらく最も一般的であり、ウィンドウの選択を制限することがよくあります。

標準の離散ウェーブレット変換もフィルターバンクですが、サブサンプリングが各周波数帯域で同じではない（またはより適切にスケーリングされる）という違いがあります。これは、各スケールの長さが不均一になります。ただし、使用できる係数の「長方形配列」を生成する冗長ウェーブレット実装が存在します。最もよく知られているスキームは、異なる名前で呼ばれます：シフト不変または時不変ウェーブレット、間引きなしウェーブレット、定常ウェーブレット変換（SWT）、および場合によってはサイクルスピニング。その標準的な再構成には、オーバーラップ加算に似た手順が含まれますが、スケールのサンプリングファクターが異なるため、「埋め込み」がより多くなります。ライブラリの任意の離散ウェーブレットで使用することも、独自のウェーブレットを設計することでも使用できます。その理由は、標準の離散ウェーブレットが非冗長性を念頭に置いて設計されたため、ウェーブレットの選択が制限されるためです。冗長性を使用すると、満たすべき制約が緩和されるため、ウェーブレットの選択肢が増えます。「究極の」アバターは、連続ウェーブレット変換であり、すべての逆合成ウェーブレットを「ほぼ」認めます。私の最後の文はかなりお粗末です、あなたが意味を理解することを望みます：正方行列が可逆であるとき、それはただ1つの逆を持ちます。「長方形」行列が一般化された方法で左反転可能である場合、

Stationary Wavelet Transformの python実装があるようです。2.3.4でいくつかの参照を見つけることができます。リンク論文の翻訳不変ウェーブレットの章。

一般に、実用的なアプリケーション（地質物理学、非破壊検査、超音波、振動）での検出、ノイズ除去、または復元に対してはるかに堅牢です。

短時間フーリエ変換でフィルタリングするためにオーバーラップ加算/オーバーラップ保存が必要な理由は、基本的に、取得する係数に関連付けられている基底関数が特定の時間範囲（単一の時点ではなく）で定義されるためです。拡張係数の計算に使用するフーリエ変換は、信号フレーム長で定義された円形領域で畳み込みも実装します。つまり、フレームの2つの端点が実際に識別され、円で閉じられます。そのため、編集する係数の基底関数が、フレームの両端でフレームに影響を与えないようにする必要があります。

ウェーブレットは時間変換固有ベクトルではなく、循環たたみ込みを使用して計算されません。つまり、オーバーラップの追加や保存、または循環たたみ込みの副作用を処理する他のメソッドは必要ありません。代わりに、ウェーブレット基底ベクトルは、信号を記述するための可能な基底にすぎません。したがって、（完全な、離散的な、場合によっては直交する）ウェーブレット変換は、時間領域ベースからウェーブレット領域ベースへの基底変化に他なりません。基底の変化は反転させることができ（そこに到達した基底変化行列の逆を適用することにより）、時間領域に戻すことができます。

ウィンドウサイズ、オーバーラップ、サンプリングレートとして指定したパラメーターは、すべてウェーブレット変換には適用されません。必要なのはマザーウェーブレットだけです。結果をSTFT出力と比較する場合は、ウェーブレットのプロトタイプとして、STFT基底ベクトル（つまり、ウィンドウに複素指数キャリアを乗算したもの）を選択できます。次に、高速ウェーブレット変換を適用します。これにより、信号は、最終的に係数となる高域および低域のフィルター処理およびデシメートされた信号のツリーに分解されます。各係数は、ウェーブレット基底ベクトルとそのパラメーター（scale、time）または（frequeny、time）に関連付けられています。係数を操作してから、逆離散ウェーブレット変換を適用できます。係数を取得し、再合成フィルターバンクを介して実行し、再び信号を生成します。

これらのプロセスは簡単ではなく、初心者にとっては消化するのが難しいかもしれません。しかし、高速ウェーブレット変換とその逆を実装する、選択したプラットフォームのライブラリ/ツールボックスを見つけることができるはずです。ただし、独自のウェーブレットベースを実現する場合は、分解および合成フィルターバンクのフィルター係数を導出する必要があります。それにはいくらかの深い理論が必要であり、おそらく最初にそれを研究しなければならないでしょう。

ウェーブレット変換には、他にもフレーバーがあります。つまり、オーバーコンプリートベースで機能する連続ウェーブレット変換です。計算がはるかに遅く、反転するのがはるかに難しいため、現在はあなたがしたいことのオプションではありません。

ウェーブレットの基礎を定義する方法はたくさんあります。通常、ウェーブレットは次のようになります。

$$w_{x_0,k_0}(x) = A\exp(ik_0x)e(k_0(x-x_0))$$

ここで、は時間の中心、k 0は周波数の中心、eは窓関数です。Aは位相と正規化を吸収します。これがSTFTと異なる主な方法は、ウィンドウの幅がkに依存することです。$x_0$$k_0$$e$$A$$k$

通常、離散点を使用して、ウェーブレットの数を制限します。STFTの場合と同様に、信号の次元数よりも多くのポイントを使用するとよい場合がよくあります。目的は、可能な限りすべて（x 0、k 0）を使用することにより得られる答えを近似することですが、合理的な計算リソースを使用します。$(x_0,k_0)$$(x_0,k_0)$

変換されたデータの次元は信号の次元を超えるため、ウェーブレット基底は正規直交ではありません。すなわち、次は偽になります。

$$\left\langle w_{k_0, x_0} | w_{k_0',x_0'} \right\rangle = \delta(x_0,x_0')\delta(k_0,k_0')$$

$A$$w$

$$\sum_{x_0,k_0} \left| w_{x_0,k_0} \right\rangle \frac{1}{\sqrt{k_0}} \left\langle w_{x_0,k_0} \right| = \text{identity}$$

つまり、構成するウェーブレットを加算するだけで、信号を完全に再構築できます。

「修正」は、上記の合計に単純に挿入できます。

$$\text{my_filter} = \sum_{x_0,k_0} \left| w_{x_0,k_0} \right\rangle f(x_0,k_0) \left\langle w_{x_0,k_0} \right|$$

更新2013-11-19：要求に応じて以下に実装の詳細を追加します。

$f(x)$

$$c_{x_0,k_0} = \left\langle w_{x_0,k_0} | f \right\rangle$$

$k_0$$c{x_0,k_0}$$x_0$$f$$f$$w_{0,k_0}$$c_{x_0,k_0}$

• $f$$\hat f$
• $k_0$$1/4$
  • $\hat f$$\hat w_{0,k_0}$
  • $[k_l,k_r)$$\hat w_{0,k_0}$
  • それに逆フーリエ変換を適用します。
  • 掛ける$exp(ix\frac{k_l+k_r}{2})$$c_{x_0,k_0}$$x_0$

$k_0$$x_0$$w_{0,k_0}$$k_0$$k_0$

$c_{x_0,k_0}$$k_0$

FFTの正確な定義方法によっては、スペクトルの切り捨てによって正規化の問題が生じる場合があります。ここですべての可能性をカバーしようとはしません。正規化は基本的に簡単な問題です。;-)

$\hat w_{x_0,k_0}(k)$$w_{x_0,k_0}(x)$

$$\hat w_{x0,k0} = A exp(-i(k-k_0)x_0) exp(-(Q log(k/k_0))^2)$$

$Q$$A$$k_0$