複素指数はLTIシステムの唯一の固有関数ですか？

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複素指数ではない線形時不変（LTI）システムの固有関数の例はありますか？Justin RombergのLTI Systemsの固有関数は、そのような固有関数が存在すると言いますが、私はそれを見つけることができません。

linear-systems theory eigendecomposition

— ヴィノッド
ソース

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LTIシステムのすべての固有関数は、複素指数で表現でき、複素指数は信号空間の完全な基礎を形成します。ただし、縮退したシステムがある場合、次元> 1の固有部分空間がある場合、対応する固有値への固有ベクトルはすべて、部分空間からのベクトルの線形結合です。そして、異なる周波数の複素指数の線形結合は、もはや複素指数ではありません。

非常に簡単な例：LTIシステムとしての恒等演算子1は、信号空間全体が固有値1の固有部分空間としてあります。これは、すべての関数が固有関数であることを意味します。

— ジャズマニアック
ソース

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もちろんヌル機能を除いて:)冗談です

— ローラン・デュバル

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私は自分の回答を明確に言葉にしたと思った---明らかにそうではない:-)。元の質問は、「LTIシステムの複素指数関数のほかに固有信号はありますか？」でした。答えは、システムがLTIであるが他に何も知られていないという事実が与えられた場合、確認される唯一の固有信号は複素指数です。特定のケースでは、システムには追加の固有信号もあります。私が与えた例は、sincがそのような固有信号である理想的なLPFでした。sinc関数は、任意のLTIシステムの固有信号ではないことに注意してください。LPFとsincを非自明なケースを示す例として示しました--- x（t）= y（t）は数学者を満足させますが、エンジニアは満足させません：->。複素指数に加えて固有信号として他の信号を持つ他の特定の自明でない例が思いつくと思います。

また、一般に、cosとsinは固有信号ではありません。cos（wt）が適用され、出力がA cos（wt + theta）の場合、この出力は条件の入力である定数倍として表せません（thetaが0またはpi、またはA = 0の場合を除く）信号が固有信号になるために必要です。cosとsinが固有信号である条件がありますが、これらは特殊なケースであり、一般的ではありません。

CSR

— CSR
ソース

他の回答に対する私のコメントを理解してもよろしいですか？重要なのは、実際のLTIシステムでは、固有信号として実際の正弦波が期待されるということです。これは、すべての周波数のすべてのサインが固有信号であることを意味するものではありません。具体的には、そのような正確な条件を示し、ほとんどのLTIシステムでその条件が満たされる理由を説明しました。

— Jazzmaniac

また、回答を編集して意味をかなり変更したことを忘れないでください。「合理的な伝達関数の場合、他の固有信号はありません」から「任意のシステムの場合、一般的な固有信号はありません。だから、人々があなたの反応を正しく理解していないようにそれを置くことは少し多い。

— Jazzmaniac

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任意のLTIシステムでは、私の知る限り、複素指数は唯一の既知の固有信号です。一方、理想的なLPFを検討してください。機能： $\operatorname{sinc}$ 容易固有信号であることが分かります。固有信号として複素指数（以外有する信号（例えば理想のLPFなど）LTIシステムの存在にこの点

sinc (t) ≜ \frac{\sin (π t)}{π t}

$\operatorname{sinc}(t) \triangleq \frac{\sin(\pi t)}{\pi t}$

この場合）。

\frac{\sin (π t)}{π t}

$\frac{\sin(\pi t)}{\pi t}$

— CSR
ソース

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H (ω) = H^{*} (- ω)

$H(\omega)=H^*(-\omega)$

H (ω)

$H(\omega)$

ω \neq 0

$\omega\neq 0$

π

$\pi$

ω \neq 0

$\omega\neq 0$

— Jazzmaniac

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\infty

$\infty$

1

sinc (t) ≜ \frac{\sin (π t)}{π t}

$\operatorname{sinc}(t) \triangleq \frac{\sin(\pi t)}{\pi t}$

H (f) = 1 \forall | f | < \frac{1}{2}

$H(f)=1 \quad \forall |f|<\frac{1}{2}$

1

バツ （ t ） = e^{s t}

$x(t) = e^{st}$

y （ t ） = H （ s ） \cdot バツ （ t ）

$y(t) = H(s) \cdot x(t)$

H (s)

$H(s)$

h (t)

$h(t)$ ）。私には固有関数のように見えます。しかし、あなたはCSRの仕様については正しいです。

— ロバートブリストージョンソン

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L^{2}

$L^2$

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たぶん、円対称のレンズのような空間的に不変の多次元オブジェクト。これはフーリエベッセル展開と呼ばれます。時間にTはありませんが、畳み込み周波数領域の関係が成り立ちます