周波数が2つのビンの中心の間にある場合、信号のピーク値を取得する

以下を想定してください：

• 信号の基本周波数は、FFTといくつかの周波数推定法を使用して推定されており、2つのビン中心の間にあります
• サンプリング周波数は固定です
• 計算努力は問題ではありません

周波数がわかっている場合、基本的な信号の対応するピーク値を推定する最も正確な方法は何ですか？

1つの方法は、ビンの中心が推定周波数に近くなるように、FFT分解能を高めるために時間信号をゼロで埋めることです。このシナリオで、私が確信していない点の1つは、必要なだけゼロパッドできるか、そうすることでいくつかの欠点があるかどうかです。もう1つは、ピーク値を取得するものとしてゼロパディング後に選択するビン中心です（ゼロパディングの後でも対象の周波数に正確にヒットしない可能性があるため）。

しかし、周囲の2つのビンの中心のピーク値を使用して目的の周波数でのピーク値を推定する推定器など、より良い結果を提供できる別の方法があるかどうかも疑問に思っています。

思い浮かぶ最初のアルゴリズムは、Goertzelアルゴリズムです。このアルゴリズムは通常、対象の周波数が基本周波数の整数倍であると想定しています。ただし、このペーパーでは、関心のあるケースに（一般化された）アルゴリズムを適用します。

もう1つの問題は、信号モデルが正しくないことです。を使用し2*%pi*(1:siglen)*(Fc/siglen)ます。使用する必要があります2*%pi*(0:siglen-1)*(Fc/siglen)フェーズが正しく出てくるために。

また、周波数に問題があると思います Fc=21.3が非常に低い。低周波数の実数値信号は、位相/周波数推定の問題になるとバイアスを示す傾向があります。

また、位相推定の粗いグリッド検索を試みましたが、Goertzelアルゴリズムと同じ答えが得られました。

以下は、2つの異なる周波数Fc=21.3（実線）とFc=210.3（破線）の両方の推定値（Goertzel：blue、Coarse：red）のバイアスを示すプロットです。ご覧のとおり、高周波数のバイアスははるかに小さくなっています。

プロット γ軸が0から変化初期段階で2 π。$x$$2\pi$

2つだけでなく、複数の隣接するFFTビンを使用する場合、ウィンドウの幅に応じて、複雑なビンの結果間でウィンドウ化されたSinc補間を使用すると、非常に正確な推定値を生成できます。

ウィンドウ化されたSinc補間は、高品質のオーディオアップサンプラーで一般的に見られるため、その主題に関する論文には、エラー分析を備えた適切な補間式があります。

[1] JLフラナガンとRMゴールデン、「フェーズボコーダー」、Bell Systems Technical Journal、vol。45、pp。1493–1509、1966。

[2] K.ドレスラー、「多重解像度FFTの効率的な実装を使用した正弦波抽出」、Proc。第9国際空港 確認 デジタルオーディオエフェクト（DAFx-06）、カナダ、モントリオール、2006年9月、247〜252ページ。

1つの方法は、最大値を見つけてそれについて放物線を当てはめ、その放物線の最大値を周波数と大きさの推定値として使用することです。ここのすべてを読むことができます：https : //ccrma.stanford.edu/~jos/sasp/Sinusoidal_Peak_Interpolation.html

数年前、私はこの正確な問題に多くの困難を抱えていました。

この質問を投稿しました：

/programming/4633203/extracting-precise-frequencies-from-fft-bins-using-phase-change-between-frames

私は最初から計算を行うことになり、自分の質問に対する答えを投稿しました。

インターネットで同様の説明を見つけることができなかったことに驚いています。

ここに回答を再度投稿します。コードは、FFTウィンドウを4倍オーバーラップするシナリオ用に設計されていることに注意してください。

π

このパズルのロックを解除するには、2つのキーが必要です。

• 最初の鍵は、FFTウィンドウの重なりがビン位相の回転をどのようにもたらすかを理解することです。

• 2番目のキーは、ここのグラフ3.3と3.4からのものです（ここに写真をコピーする許可を与えてくれたStephan Bernseeに感謝します）。

グラフ3.3：

グラフ3.4：

コード：

for (int k = 0; k <= fftFrameSize/2; k++) 
{
    // compute magnitude and phase 
    bins[k].mag = 2.*sqrt(fftBins[k].real*fftBins[k].real + fftBins[k].imag*fftBins[k].imag);
    bins[k].phase = atan2(fftBins[k].imag, fftBins[k].real);

    // Compute phase difference Δϕ fo bin[k]
    double deltaPhase;
    {
        double measuredPhaseDiff = bins[k].phase - gLastPhase[k];
        gLastPhase[k] = bins[k].phase;

        // Subtract expected phase difference <-- FIRST KEY
        // Think of a single wave in a 1024 float frame, with osamp = 4
        //   if the first sample catches it at phase = 0, the next will 
        //   catch it at pi/2 ie 1/4 * 2pi
        double binPhaseExpectedDiscrepancy = M_TWOPI * (double)k / (double)osamp;
        deltaPhase = measuredPhaseDiff - binPhaseExpectedDiscrepancy;

        // Wrap delta phase into [-Pi, Pi) interval 
        deltaPhase -= M_TWOPI * floor(deltaPhase / M_TWOPI + .5);
    }

    // say sampleRate = 40K samps/sec, fftFrameSize = 1024 samps in FFT giving bin[0] thru bin[512]
    // then bin[1] holds one whole wave in the frame, ie 44 waves in 1s ie 44Hz ie sampleRate / fftFrameSize
    double bin1Freq = (double)sampleRate / (double)fftFrameSize;
    bins[k].idealFreq = (double)k * bin1Freq;

    // Consider Δϕ for bin[k] between hops.
    // write as 2π / m.
    // so after m hops, Δϕ = 2π, ie 1 extra cycle has occurred   <-- SECOND KEY
    double m = M_TWOPI / deltaPhase;

    // so, m hops should have bin[k].idealFreq * t_mHops cycles.  plus this extra 1.
    // 
    // bin[k].idealFreq * t_mHops + 1 cycles in t_mHops seconds 
    //   => bins[k].actualFreq = bin[k].idealFreq + 1 / t_mHops
    double tFrame = fftFrameSize / sampleRate;
    double tHop = tFrame / osamp;
    double t_mHops = m * tHop;

    bins[k].freq = bins[k].idealFreq + 1. / t_mHops;
}

このpythonコードは、放物線補間（McAulay Quatieri、Serraなどが高調波+残差で成功的に使用する方法）で非常に正確な結果（多くの音符に使用し、半音の0.01％未満のエラーを取得しました）を提供します分離技術）

import matplotlib.pyplot as plt
import numpy as np
from scipy.io.wavfile import read
from scipy.fftpack import fft, ifft
import math

(fs, x) = read('test.wav')
if (len(x.shape) == 2):    # if stereo we keep left channel only
 x = x[:,1]

n=x.size
freq = np.arange(n)*1.0/n*fs 
xfft = abs(fft(x))

imax=np.argmax(xfft)  
p=1.0/2*(xfft[imax-1]/xfft[imax]-xfft[imax+1]/xfft[imax])/(xfft[imax-1]/xfft[imax]-2+xfft[imax+1]/xfft[imax])   # parabolic interpolation 
print 'Frequence detectee avec interpolation parabolique :',(imax+p)*1.0/n*fs, 'Hz'

clear all
clc

for phase_orig = 0:pi/18:pi,

%% Specify and generate signal
Amp = 1;                     % Amplitude of signal
Fs = 8000;                   % samples per second
dt = 1/Fs;                   % seconds per sample
Fc = 21.3;                   % Hz
StopTime = 0.25;             % seconds
t = (0:dt:StopTime-dt)';     % seconds

siglen = length(t);
sig = Amp * 1.5 * sin(2*pi*(0:siglen-1)*(Fc/siglen) + phase_orig) + 1.5 * Amp * sin(2*pi*(0:siglen-1)*(Fc/siglen) * 3) ...
  + 1.5 * Amp * sin(2*pi*(0:siglen-1)*(Fc/siglen) * 5)+ 0.3 * Amp * sin(2*pi*(0:siglen-1)*(Fc/siglen) * 7) ...
  + 1.3 * Amp * sin(2*pi*(0:siglen-1)*(Fc/siglen) * 9)+ 1.4 * Amp * sin(2*pi*(0:siglen-1)*(Fc/siglen) * 11);

%% Estimate the peak value of the signals fundamental using Goertzel algorithm
peak = 0;
indvec = [Fc-1 Fc Fc+1];

% Check the input data
if ~isvector(sig) || isempty(sig)
  error('X must be a nonempty vector')
end

if ~isvector(indvec) || isempty(indvec)
  error('INDVEC must be a nonempty vector')
end
if ~isreal(indvec)
  error('INDVEC must contain real numbers')
end

% forcing x to be column
sig = reshape(sig,siglen,1);

% initialization
no_freq = length(indvec); %number of frequencies to compute
y = zeros(no_freq,1); %memory allocation for the output coefficients

% Computation via second-order system
% loop over the particular frequencies
for cnt_freq = 1:no_freq
  %for a single frequency:
  %a/ precompute the constants
  pik_term = 2*pi*(indvec(cnt_freq))/(siglen);
  cos_pik_term2 = cos(pik_term) * 2;
  cc = exp(-1i*pik_term); % complex constant
  %b/ state variables
  s0 = 0;
  s1 = 0;
  s2 = 0;
  %c/ 'main' loop
  for ind = 1:siglen-1 %number of iterations is (by one) less than the length of signal
    %new state
    s0 = sig(ind) + cos_pik_term2 * s1 - s2;  % (*)
    %shifting the state variables
    s2 = s1;
    s1 = s0;
  end
  %d/ final computations
  s0 = sig(siglen) + cos_pik_term2 * s1 - s2; %correspond to one extra performing of (*)
  y(cnt_freq) = s0 - s1*cc; %resultant complex coefficient

  %complex multiplication substituting the last iterationA
  %and correcting the phase for (potentially) non-integer valued
  %frequencies at the same time
  y(cnt_freq) = y(cnt_freq) * exp(-1i*pik_term*(siglen-1));
end

  % perfom amplitude scaling
  peak = abs(y(2)) * 2 / siglen

% perform parabolic interpolation to get the phase estimate
phase_orig=phase_orig*180/pi
ym1 = angle(unwrap(y(1)));
y0 = angle(unwrap(y(2)));
yp1 = angle(unwrap(y(3)));

p = (yp1 - ym1)/(2*(2*y0 - yp1 - ym1)); 
phase = y0 - 0.25*(ym1-yp1)*p;
phase_est = phase * 180/pi + 90;
phase_est = mod(phase_est+180,360)-180
end

扱っている周波数（8kHzでサンプリングされた21.3Hz）は非常に低いです。これらは実数値の信号であるため、**任意**周波数の位相推定にバイアスが生じます。

この画像が示すバイアスのプロット（phase_est - phase_orig）のためにFc = 210.3;（赤）のバイアス対Fc = 21.3;。ご覧のとおり、この場合、オフセットははるかに重要です21.3。

別のオプションは、サンプリングレートを下げることです。緑の曲線は、のFs = 800代わりのバイアスを示してい8000ます。