双線形変換の代替手段はありますか？

アナログフィルターに基づいてデジタルフィルターを設計する場合、通常、双線形変換を使用します。アナログ（連続）伝達関数A （s ）から離散伝達関数を近似するには、次のように置き換えます。$D_a(z)$$A(s)$

$$z = \frac{1+sT/2}{1-sT/2}$$

ここで、はサンプリング周期です。あるいは、離散伝達関数D （z ）から連続伝達関数A a（s ）を近似するには、次のように置き換えます。$T$$A_a(s)$$D(z)$

$$s = \frac{2}{T} \frac{z-1}{z+1}$$

そのような変換を実行する代替方法はありますか？より良い近似はありますか？

極がs平面の左半分にある場合（左図）、アナログフィルターは安定しており、極が単位円の内側にある場合（右図）、デジタルフィルターは安定しています。だから、アナログからデジタルに変換するのに必要であることを数学的にすべてが単位円とする半空間からのマッピング（？コンフォーマル）である単位円に軸| z | = 1。これを行う変換は、双方向変換の代替となる可能性のある候補です。$\jmath\Omega$$\vert z\vert=1$

よく知られている2つの方法は、インパルス不変性法と一致Z変換法です。概念的には、これらはどちらも、使い慣れた連続波形のサンプリングに似ています。による逆ラプラス変換とZとしてのZ変換を表すと、これらの方法は両方とも、アナログフィルターのインパルス応答を次のように計算することを伴います。$\mathcal{L}^{-1}$$\mathcal{Z}$

$$a(t)=\mathcal{L}^{-1}\{A(s)\}$$

そしてサンプリング（Tの）サンプリング間隔でT回避エイリアシングように十分に高いのです。デジタルフィルタの伝達関数は、次いで、サンプル値系列から得られる[ N ]として$a(t)$$T$$a[n]$

$$D_a(z)=\mathcal{Z}\{a[n]\}$$

ただし、2つの間に重要な違いがあります。

インパルス不変法：

この方法では、アナログ伝達関数を部分分数として展開します（Peterが言及した一致したZ変換ではありません）。

$$A(s)=\sum_m \frac{C_m}{s-\alpha_m}$$

$C_m$$\alpha_m$

失敗する理由も非常に明確です。分子に分母と同じ次数の多項式がある場合、逆変換時にサンプリングできないデルタ関数を与える自立定数項があります。

$\alpha_m \to e^{\alpha_m T}$

一致したZ変換

$\beta_m\to e^{\beta_m T}$$\alpha_m\to e^{\alpha_m T}$

$$A(s)=\frac{\prod_m (s-\beta_m)}{\prod_n (s-\alpha_n)}\longrightarrow \frac{\prod_m \left(1-z^{-1}e^{\beta_m T}\right)}{\prod_n \left(1-z^{-1}e^{\alpha_n T}\right)}$$

これらの両方の方法の制限を簡単に確認できます。インパルス不変式は、フィルターがローパスで、マッチドz変換法がバンドストップフィルターとバンドパスフィルター（およびナイキスト周波数までのハイパス）に適用される場合にのみ適用可能です。また、実際にはサンプリングレートによって制限され（結局、特定のポイントまでしか移動できません）、エイリアシングの影響を受けます。

双線形変換は、実際に最も一般的に使用される方法であり、上記の2つは学問的利益のためにかなり多くあります。アナログへの変換については、申し訳ありませんが、アナログフィルターをほとんど使用しないので、わかりません。

$s$$z$

以下に例を示します。

一致したZ変換

$s$

$$Y(s) = \frac{a_0}{s + s_0} + \frac{a_1}{s + s_1} + ...$$

そして、部分分数展開の各部分の変換は、次を使用して直接行われます。

$$s + s_n = 1 - z^{-1} \exp(-s_nT)$$

シンプソンのルール

双線形変換の1つの解釈は、台形規則を使用した近似積分によって連続時間から離散時間に変換する方法であるということです。

近似積分のより正確な手法では、シンプソンの規則を使用します。この近似が使用される場合、結果のマッピングは次のとおりです。

$$s = \frac{3}{T} \frac{z^2 - 1}{z^2+4z+1}$$