有限差分法による半円形領域のラプラシアン固有モード

半円形膜の固有モードの計算は、次の固有値問題に還元されます

\nabla^{2} u = k^{2} u,

$\nabla^2u=k^2u\;,$

ここで、関心領域はおよびによって定義される半円です。 $r\in[0,1]$ $\varphi\in[0,\pi]$

ラプラシアンが次のように書かれている円筒座標で作業するのが適切です。

\nabla^{2} u = \frac{\partial^{2} u}{\partial r^{2}} + \frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial r} + \frac{1}{r^{2}} \frac{\partial^{2} u}{\partial φ^{2}} .

$\nabla^2u=\frac{\partial^2u}{\partial r^2}+\frac{1}{r}\frac{\partial u}{\partial r}+\frac{1}{r^2}\frac{\partial^2 u}{\partial\varphi^2}.$

境界条件は、半円の境界での値を固定します。ここで、です。 $u$ $u=0$

まず、我々は、離散すると、と及び、。これは中央のメッシュです。 $u$ $u_{ij}=u(r_i,\varphi_j)$ $r_i=(i+\frac{1}{2})h_r$ $\varphi_j=(j+\frac{1}{2})h_\varphi$ $i,j=0\dots N-1$ $h_r=1/N$ $h_r=\pi/N$

次に、ラプラシアンに有限差分近似を使用して、

\begin{array}{rcl} \nabla^{2} u & \approx & \frac{u_{i + 1, j} - 2 u_{i, j} + u_{i - 1, j}}{h_{r}^{2}} + \frac{1}{i h_{r}} \frac{u_{i + 1, j} - u_{i - 1, j}}{2 h_{r}} + \\ + \frac{1}{(i h_{r})^{2}} \frac{u_{i, j + 1} - 2 u_{i, j} + u_{i, j - 1}}{h_{φ}^{2}} \\ = & k^{2} u_{i j} \end{array}

$\begin{eqnarray} \nabla^2u&\approx& \frac{u_{i+1,j}-2u_{i,j}+u_{i-1,j}}{h_r^2}+\frac{1}{ih_r}\frac{u_{i+1,j}-u_{i-1,j}}{2h_r}+ \\ &&+\frac{1}{(ih_r)^2}\frac{u_{i,j+1}-2u_{i,j}+u_{i,j-1}}{h_{\varphi}^2}\\ &=&k^2u_{ij} \end{eqnarray}$

または

\begin{array}{rcl} u_{i + 1, j} (1 + \frac{1}{2 i}) + u_{i - 1, j} (1 - \frac{1}{2 i}) \\ + \frac{1}{i^{2} h_{φ}^{2}} (u_{i, j + 1} + u_{i, j - 1}) + u_{i, j} (- 2 - \frac{2}{i^{2} h_{φ}^{2}} - k^{2} h_{r}^{2}) = 0 . \end{array}

$\begin{eqnarray} &&u_{i+1,j}\left(1+\frac{1}{2i}\right)+u_{i-1,j}\left(1-\frac{1}{2i}\right)\\ &&+\frac{1}{i^2h_{\varphi}^2}\left(u_{i,j+1}+u_{i,j-1}\right)+u_{i,j}\left(-2-\frac{2}{i^2h_{\varphi}^2}-k^2h_r^2\right)=0\;. \end{eqnarray}$

メッシュが中央に配置されているため、上記の方程式を次のように置き換える必要があります：。この置換は、座標特異点を取り除くのにも役立ちます。 $i\to i+\frac{1}{2}$ $i=0$

および境界条件はすべて、同じトリックで処理できます。 $\varphi=0,\pi$ $r=0,1$

u_{i, j - 1} = - u_{i, j}

$u_{i,j-1}=-u_{i,j}$

u_{i, j + 1} = - u_{i, j}

$u_{i,j+1}=-u_{i,j}$

u_{i - 1, j} = - u_{i, j}

$u_{i-1,j}=-u_{i,j}$

u_{i + 1, j} = - u_{i, j} .

$u_{i+1,j}=-u_{i,j}.$

次に、からベクトルを形成し、行列古典的な固有値問題を取得します。これは、上記の方程式から慎重に形成されます $u_{ij}$ $\vec v$ $\rm A$

A \vec{v} = k^{2} h_{r}^{2} \vec{v} .

${\rm A}{\vec v}=k^2h_r^2{\vec v}\;.$

行列は非対称の実数行列であり、固有値と固有ベクトルはdgeevLAPACKのルーチンで取得できます。

変数の分離方法により、解析解を簡単に取得できます

u (r, φ) = R (r) Φ (φ) .

$u(r,\varphi)=R(r)\Phi(\varphi)\;.$

彼らです

u (r, φ)_{n m} = \sin (n φ) J_{n} (\frac{ξ_{n}^{(m)}}{R} r),

$u(r,\varphi)_{nm}=\sin(n\varphi)J_n\left(\frac{\xi_n^{(m)}}{R}r\right)\;,$ ここでは（円筒形）第1ベッセル関数であり、は番目の零点です。

J_{n}

$J_n$

n

$n$

ξ_{n}^{(m)}

$\xi_n^{(m)}$

m

$m$

J_{n}

$J_n$

固有値と周波数は

ω_{n m} = \sqrt{- k^{2}} = \frac{ξ_{n}^{(m)}}{R} .

$\begin{equation} \omega_{nm}=\sqrt{-k^2}=\frac{\xi_n^{(m)}}{R}\;. \end{equation}$

私の問題は、上記の手順で得られた数値解が分析解と一致しないことです。違いはあたりなので、この境界はおそらく正しく考慮されていません。私の結果は、分析と数値解の両方の次のプロットで見ることができます。 $r=0$

以下は、最初の固有関数の解析解のプロットです。

最初の固有関数の解析解。

次のプロットは、計算リソースが許す限り、3つの異なる離散化の数値結果の比較を示しています。

異なる離散化$ N $での数値解の比較。

次のプロットは、数値解と分析解の差の依存性を示し、対数目盛でとして正規化されています。線形回帰の傾きは。これは、絶対誤差がとともに線形的に減少することを意味します。他の差分近似は2次でしたが、境界条件は1次のみで満たされたため、この線形精度は驚くべきことではありません。 $N^2$ $L^2(\vec{u}-\vec{u}_{analytical})/N^2$ $0.5$ $N$

グリッド点の数の関数としての正規化された絶対誤差$ N ^ 2

pde finite-difference eigensystem

— リベリア
ソース

私は少し混乱しています。に対応する離散固有問題を解いていますか？その固有値と固有ベクトルは、離散化エラーのため、連続問題の固有値と固有ベクトルとは異なるはずです。そのため、結果は同じではないはずです。、離散問題のスペクトルは連続問題の（無限の）スペクトルに近づくべきである、との固有ベクトルでの連続問題の固有関数の値に近づくべきですシミュレーションのグリッドポイント。

A

$A$

h_{r}, h_{φ} \to 0

$h_{r}, h_{\varphi} \rightarrow 0$

A

$A$

— Geoff Oxberry、2012年

それは本当だ。しかし、投稿されたソリューション（nb。of pointsが使用されている）からわかるように、数値解は分析解に近づいていません。周りの導関数は小さすぎるようです。での境界条件を考慮に入れるべきだと思います。しかし、条件、（上記のように）他の境界と同じ方法で実装された場合、何も変更しません。

N = 60

$N=60$

r = 0

$r=0$

r = 0

$r=0$

u (r = 0, φ) = 0

$u(r=0,\varphi)=0$

— リベリア2012年

@liberias 1つの値を持つ1つの結果からの収束については何も言えません。大きくしてみて、結果が改善するかどうか確認してみませんか？さらに良いことに、実際の収束テストを行います。

N

$N$

N

$N$

— David Ketcheson、2012年

@liberiasニース！さまざまな値に対する数値解と解析解の差の（適切にスケーリングされた）ノルムを計算できますか？それがどれほど速く減少しているかを確認することは有用です。

N

$N$

— David Ketcheson、2012年

@Davidこの単純な収束テストはあなたが意図したことですか？この（線形）収束は十分高速ですか？結局、1次導関数に2次近似を使用しました。

— リベリア2012年

少なくともある程度の回答を得るために、上記の分析は正しいようです。1次境界条件は2次離散化の精度に影響します（有限差分近似に関するLeVequeの本を正しく覚えている場合、DavidKetchesonがそれを助けてくれます）。したがって、離散問題の解は次のように収束しているように見えます。適切な速度での分析問題の解決。

— ジェフオックスベリー
ソース

Gilbert Strangはまた、彼の講義で、一次境界条件が解全体に伝播することを述べています。実は、このような原点付近の振る舞いが円柱座標の典型であり、おそらく座標特異点に起因するのではないかと思います。

— リベリア

ほとんどの分析をざっと見て、きれいな写真を見て、彼らは説得力のあるストーリーを伝えます。分析ソリューションには循環性はありませんが、数値ソリューションには循環性があります。中央領域は湾曲しています。

だから私はあなたの有限差分スキームに真っ向から焦点を当てます。何が問題なのかはまだわかりませんが、座標の角度依存性の一部が完全に処理されていない可能性があります。

境界条件ではないかと思います。どちらのソリューションもすべての境界でゼロを持っているようです。しかし、それは条件の性質であると考えられ、値の条件ではなく派生物です。

— フィルH
ソース

-3

境界条件がわかりません。

なぜマイナス？
$r=0$ $r=1$ $\varphi=0$ $\varphi=\pi$

詳細を教えてください。

— ジュゼッペ
ソース

u (x)

$u(x)$

u_{1}

$u_1$

x = - a

$x=-a$

- u_{1}

$-u_1$

x = a

$x=a$

x = 0

$x=0$

0

$0$

r

$r$

φ

$\varphi$

φ = 0, π

$\varphi=0,\pi$

r = 0, 1

$r=0,1$