演算子の固定小数点を見つける

関数作用している演算子固定小数点を見つけるためにどのような数値的方法が利用できますか？？である関数を探しています。f ：[ a 、b ] → [ a 、b ] f A f = $A$$f : [a,b] \rightarrow [a,b]$$f$$Af = f$

重要な詳細：

私の関数は、実際には円上の（つまり、周期的な内部）分布の確率密度関数です。これは、であることも意味し、問題がより簡単になります。この関数をある密度でサンプリングし、演算子数値的に計算できるとします。分布は必ずしも連続的ではありません。つまり、次のようになります。[ 0 、2 π ）0 ≤ F （X ）≤ 1 のx ∈ [ 0 、2 π $f$$[0,2\pi)$$0 \le f(x) \le 1$$x \in [0,2\pi)$$A$

私はこれを行う方法と提案を探しています。最初にこれをMathematicaで実装しようと思います。

私の実際的な問題のすべての厄介な詳細：

これは私が実際に演算子計算する方法です： $A$

1. 私が持っている分布を、そこから抽出された多数のサンプルとして取得します
2. 私はPDFを見積もり、それを「正方形」のカーネルで畳み込みます（「正方形」とは、上の図に似ていることを意味します）。これは私にかなり滑らかな機能を与えます。
3. 関数をしきい値処理して、別のバイナリ値関数を取得します。$g:[a,b] \rightarrow {0,1}$
4. この2値関数から、分布から抽出された多数のサンプルを再度計算します

これは、PFDを使用する代わりに、平滑化関数（畳み込み後）または2進値関数を使用することもできることを意味するため、これを述べました。実際、私は実際にはバイナリ値の関数を扱っていました。

単純な実関数（演算子ではない）の固定小数点は、「魅力的」または「反発的」になる可能性があることを知っています。私のオペレーターの固定小数点のタイプがわかりません。

私のオペレーターは常に固定小数点として一様分布を持っていますが、（パラメーターによっては）場合によっては別の分布になることもあります。それは私が見つけなければならないこのもう一つのものです。

演算子を繰り返し適用して何が起こるかを確認しましたが、必要な固定点に収束する場合があります。ただし、収束しない場合でも、固定点が存在する可能性があります（または、別の初期条件を使用した場合にのみ、その固定点に収束する可能性があります）。したがって、より堅牢な方法が必要です。

さらに厄介な詳細：

実際、私の分布はではなく、定期的な間隔です。固定小数点は、の特定の値に対してのみ存在ます。演算子を繰り返し適用し、が正しい値から少しずれている場合、分布は定期的な間隔で「回転」しているように見えます。回転量を測定することにより、私は、の値を補正することができます。[ 0 、A ）$[0,2\pi)$$[0,a)$$a$$a$$a$

なぜ私はこの複雑な（ローカライズされているように見える）詳細に言及したのですか、それは質問に必須ではありませんか？分布が定期的な間隔であることを読むと、1つの分布が固定点である場合、間隔でのその分布の回転も固定点であることがわかります。これにより、固定小数点への演算子の適用を計算する際の数値エラーにより、固定小数点がわずかに「回転」しているように見えるかどうかを考えることができます。私はこれを補うことができるので、これは問題ではありません。

これは、逆問題と呼ばれる典型的な例です。あなたは、関数見つけたい、むしろ行動をすることにより製造されるものを尋ねるよりも、既知の動作を再現し。$f$$f$

これを行う1つのアプローチは、LyubartsevとLaaksonenによって開発された逆モンテカルロのようなアプローチを使用することです。彼らがしたことは、既知の動径分布関数を再現する潜在的なを見つけることです。あなたがやろうとしていることは、を再現する関数を見つけることです。そのため、アプローチ全体は適切ではないかもしれませんが、使用する反復手順に特別な注意を払う必要があります。つまり、からを推測する方法です。g （r ）f A f = f u （k ）（r ）u （k + 1 ）（r $u(r)$$g(r)$$f$${\mathcal A}f = f$$u^{(k)}(r)$$u^{(k+1)}(r)$