F（x）= 0対|| F（x）|| ^ 2->分

$$F(x) = 0.$$ $$\|F(x)\|^2 \to\min$$ $\hat{x}$$F(x)=0$

問題は、どの処方が特定の問題により適しているかをアプリオリに教えられるかどうかです。以前にこれに取り組んだことはありますか？

---

一例

関数 F（x、y）= \ begin {pmatrix} x ^ 3-3x y ^ 2-1 \\ 3 x ^ 2 y-y ^ 3 \ end {pmatrix}について考え ます。

$$F(x, y) = \begin{pmatrix} x^3 - 3x y^2 - 1\\ 3 x^2 y - y^3 \end{pmatrix}.$$ 3つのルート$x_1=(1,0)$（下の図では緑）、$x_2=(-0.5,\sqrt{3}/2)$（青）、$x_3=(-0.5,-\sqrt{3}/2)$（赤）。Fにニュートン法を適用する場合$F$、開始点は、3つの解のいずれに収束するかを決定します。

色が濃いほど、より多くのニュートン反復が必要でした。典型的なニュートンフラクタルが表示されます。

基準点\ nabla（\ | F（x）\ | ^ 2）= 0を見つける場合$\nabla (\|F(x)\|^2) = 0$、ニュートンの方法を使用しても、画像は少し異なります。

点は臨界点ですが、解はありません。$(0,0)$$\|F(x)\|^2$$F(x)=0$

これは、公式で起こりうる問題の1つを示しています。$\min$

あなたは質問で素晴らしいグラフィックを使用しましたが、私はこの回答でかなり明確に質問に答えたと思います。これには、別の効果的な例が含まれています。

要約すると、メソッドが確実に検出できる独自のソリューションを持つ最適化問題から始めました。ローカルで特定できる一意の解を持つ非線形根検出問題として再定式化しましたが、根探索法（Newtonなど）は到達する前に停滞する可能性があります。次に、ルートファインディング問題を複数のローカルソリューションを持つ最適化問題として再定式化しました（ローカルメジャーを使用して、グローバルミニマムではないことを特定することはできません）。

一般に、問題を最適化からルートファインディングまたはその逆に変換するたびに、使用可能な方法と関連する収束保証を弱くします。メソッドの実際のメカニズムは非常によく似ているため、非線形ソルバーと最適化の間で多くのコードを再利用することが可能です。

より具体的な質問をするつもりなら、遠慮なく質問を修正してください。