Parareal、PITA、PFASSTの違いは何ですか？

Parareal、PITA、およびPFASSTアルゴリズムはすべて、時間に依存する問題の解を並列化するドメイン全体の手法です。

1. これらの方法の背後にある基本原則は何ですか？

2. それらの主な違いは何ですか？

3. あるものが別のものに基づいていると言えますか？どうやって？

4. 彼らのアプリケーションはどうですか？

「どちらが良いですか」という質問には答えられないことはわかっていますが、それらのアプリケーション領域と検証条件をよく理解しておくと役に立ちます。

$G$$F$$G$$F$$U_n \approx u(t_n)$

$$u(t) = u_0 + \int_0^t f(\tau,u(\tau)) \,d\tau$$

$t_n$$t_{n+1}$$\dot{u} = f(u,t)$$G$$F$$G$$F$$F$$G$$G$$F$

$U_{n+1}^0$$n = 0 \ldots N-1$$N$$F(t_{n+1},t_n,U_n^k)$

$$U_{n+1}^{k+1} = G(t_{n+1}, t_n, U_n^{k+1}) + F(t_{n+1}, t_n, U_n^k) - G(t_{n+1}, t_n, U_n^{k})$$

$n = 0 \ldots N-1$$G$$F$

PITAメソッドはPararealによく似ていますが、以前の更新を追跡し、各プロセッサの初期状態のみを、クリロフ部分空間メソッドを連想させる方法で更新します。これにより、PITAは、Pararealができない線形2次方程式を解くことができます。

PFASSTメソッドは、2つの基本的な方法でPararealおよびPITAメソッドとは異なります。1つ目は、反復スペクトル遅延補正（SDC）タイムステッピングスキームに依存し、2つ目は、粗いプロパゲーターへの完全近似スキーム補正と、実際にはPFASSTを組み込みます。 （2つだけではなく）プロパゲーターの階層を使用できます。SDCを使用すると、時間の並列化が可能になり、SDCの反復がハイブリッド化され、PararealとPITAの効率の制約が緩和されます。FAS補正を使用すると、PFASSTの粗いプロパゲーターを構築するときに多くの柔軟性が得られます（粗いプロパゲーターをできるだけ安価にすると、並列効率が向上します）。粗くする戦略には、時間を粗くする（SDCノードを少なくする）、空間を粗くする（グリッドベースのPDEの場合）、演算子を粗くする、物理を削減するなどがあります。

これが、アルゴリズムの基本、違い、類似点の概要を示しているといいのですが。詳細については、この投稿のリファレンスをご覧ください。

アプリケーションに関して、この方法はさまざまな方程式（惑星軌道、ナビエストークス、粒子系、カオス系、構造力学、大気の流れなど）に適用されています。特定の問題に時間並列化を適用するときは、解決する問題に適した方法でメソッドを確実に検証する必要があります。