並列ODEメソッドの最新技術とは何ですか？

現在、ODE統合のための並列メソッドを検討しています。さまざまなアプローチを説明する新しい文献や古い文献がたくさんありますが、最近の調査や一般的なトピックを説明する概要記事は見つかりませんでした。

Burrageによる本[1]がありますが、それはほぼ20年前であり、したがって、パラリアルアルゴリズムのようなより現代的なアイデアの多くをカバーしていません。

[1] K.バラージ、常微分方程式の並列法および逐次法、クラレンドンプレス、オックスフォード、1995

私は最近の概要記事を知りませんが、PFASSTアルゴリズムの開発に積極的に関与しているので、いくつかの考えを共有できます。

私が知っている時系列技術には3つの広範なクラスがあります。

• メソッド全体— RKまたは外挿積分器の独立した段階を並行して評価できます。RIDC（修正主義の積分遅延補正アルゴリズム）も参照してください。
• 問題全体—波形緩和
• 時間領域全体—パラリアル。PITA（時間並列アルゴリズム）; およびPFASST（空間と時間の並列完全近似スキーム）。

メソッド全体で並列化するメソッドは、通常、仕様に非常に近いパフォーマンスを発揮しますが、少数の（時間）プロセッサーを超えてスケ​​ーリングすることはありません。通常、それらは他の方法よりも実装が比較的簡単であり、いくつかのコアを追加して、予測可能で控えめな高速化を探している場合に適しています。

時間領域で並列化するメソッドには、Parareal、PITA、PFASSTが含まれます。これらの方法はすべて反復的で、安価な（ただし不正確な）「粗い」プロパゲーターと高価な（しかし正確な）「細かい」プロパゲーターで構成されています。粗いプロパゲーターを使用して得られたシリアルソリューションを改善するために、細かいプロパゲーターを並列で繰り返し評価することにより、並列効率を達成します。

$E$$E < 1/K$$K$

これらのすべての方法で多くのゲームをプレイして、それらを試して速度を上げることができます。これらのドメイン全体のテクニックのパフォーマンスは、解決している問題と粗いものをスピードアップするために利用可能なテクニックに依存しているようです伝播者（粗いグリッド、粗い演算子、粗い物理など）。

いくつかの参考文献（論文に記載されている参考文献も参照）：

• このホワイトペーパーでは、さまざまな方法をメソッド全体で並列化する方法を示します。 高次の明示的なルンゲクッタ法、外挿法、および遅延補正法の理論的な比較。ケッチャソンとワヒード。

• 本論文では、メソッド間で並列化の良い方法を示しており、RIDCアルゴリズムを紹介：パラレル上位インテグレータ。クリスリーブ、マクドナルド、オング。

• 本論文では、PITAアルゴリズムを紹介：Aタイムパラレル暗黙の方法を非線形構造力学問題の解決を加速するため、CortialおよびFarhat。

• Pararealに関する論文はたくさんあります（Googleだけです）。

• ここでNievergelt方法で紙である：パラレル時間積分に最小限の通信手法は、バーカー。

• この論文では、PFASSTを紹介します。偏微分方程式の効率的な並列時間法に向けて。エメットとミニオン。

• このペーパーでは、PFASSTのきちんとしたアプリケーションについて説明します。超時空並列N体ソルバー。スペック、ルプレヒト、クラウス、エメット、ミニオン、ウィンデル、テナガザル。

ネットで利用可能なPFASSTの2つの実装を作成しました：PyPFASSTとlibpfasst。

この投稿は現在2年ですが、誰かがつまずいた場合に備えて、簡単な更新をさせてください。

Martin Ganderは最近、この分野の歴史的な視点を提供し、多くの異なるPINTメソッドについて議論する素晴らしいレビュー記事を書きました：http : //www.unige.ch/~gander/Preprints/50YearsTimeParallel.pdf

また、非常に多くのリファレンスをリストし、さまざまな方法の説明を提供するコミュニティWebサイトもあります。http：//www.parallel-in-time.org/

特にPararealの並列時間アルゴリズムについては、https：//en.wikipedia.org/wiki/Pararealで説明しています。

$u_0$$u(t)=\exp(-\lambda t)u_0,$ $\mathrm{Re}\,\lambda>0.$