暗黙的FEMと明示的FEMの違いは何ですか？

明示的なFEMと暗黙的なFEMの正確な違いは何ですか？ここの投稿によると、唯一の違いは暗黙的または明示的な時間積分が使用されているかどうかです。

私が読んだ1冊の本で覚えているように、暗黙のFEMは、質量がノードに集中していない場所です。

明示的および暗黙的なFEMの正確な定義は何ですか？

非定常問題のFEM法は通常、線の方法を使用します。つまり、空間離散化は時間離散化から切り離されます ここで、 U（t ）は、ノードの量のベクトルであり、時間の未知の関数と見なされます。この仮定の下で、（x 、t ）の時空PDEは、静的問題の通常のFEM機構を使用して、 tのみのODEに削減（離散化）されます。

$$\begin{equation} u^h(x,t) = \mathbf{\Phi}(x)^T \, \mathbf{U}(t) \end{equation}$$ $\mathbf{U}(t)$$(x,t)$$t$

他の回答ですでに指摘されているように、これらのODEの時間積分スキームを参照して、明示的または暗黙的なFEMについて説明します。

$$\begin{equation} \mathbf{M} \ddot{\mathbf{U}}(t) + \mathbf{F}_\text{i}(\mathbf{U}(t)) = \mathbf{F}_\text{e}(t) \end{equation}$$ $\mathbf{F}_\text{i}$$\mathbf{F}_\text{e}$$\mathbf{F}_\text{i}(t) = \mathbf{K}\, \mathbf{U}(t)$

$\ddot{\mathbf{U}}(t)$

$$\begin{equation} \mathbf{M} \ddot{\mathbf{U}}(t) = -\mathbf{F}_\text{i}(\mathbf{U}(t)) + \mathbf{F}_\text{e}(t) \end{equation}$$ $\mathbf{F}_\text{i}(\mathbf{U}(t)) = \mathbf{b}$

$\ddot{\mathbf{U}}(t)$

はい、これは時間の統合ですが、次のことも意味します。

1. 暗黙のスキームではタイプAx = bの線形システムを解く必要がありますが、明示的なスキームではそうではありません。集中質量行列には対角要素しかなく、inv（M）は自明です。

2. 明示的スキームでのタイムステップは、安定性のCFL基準によって制限されます。暗黙的なスキームは無条件に安定しています（ただし、実際にはaccuraryには妥当なタイムステップが必要です）。

通常、慣性効果が重要な問題（波の伝播など）は、準静的問題として通常は暗黙的なスキームを使用する明示的なスキームによって解決されます。ただし、例外があります。

「明示的」および「暗黙的」という用語は、時間の離散化で発生します。これらの用語は、常微分方程式に関する文献ですでに使用されています（つまり、有限要素法に固有ではありません）。ODEの数値解法を論じている本（Hairer＆Wannerなど）を一読する価値があります。