（本から）この結果を再現する方法は？

興味のある結果は、「同期：非線形科学における普遍的な概念」ページ図ます。この投稿の最後には、特有のフラグメントも示されています。$333$$14.3$

したがって、基本的には、初期条件（横軸）の1次元配列に適用されるこの散逸性結合があり、時間（縦軸）とともに変化します。正確な初期条件がわからないので、同じ結果が得られないことに気づきましたが、それはこの投稿のポイントではありません。

実際の問題は、進化の法則をどのように適用するかわかりません。単一の反復を受ける初期条件がある場合、結果は基本的にそれらの初期条件の関数になります...問題のこの関数（手順）は何ですか？

MatLabで計算できるようになりたいです。確かにそこにいくらか関連する標準関数がなければなりません...

本にあるような放物線PDEは、通常、線の方法を使用して解くことができます。最初に、方向のメッシュを作成します。プロットは不均一性の必要性を示す特性を示さないため、一定の間隔を使用したと想定します。次に、左側の時間微分のみで方程式を再キャストし、の微分を有限差分近似に変更します。一般的な内点の最初の方程式は次のとおりです。$x$$x$

$\frac{\partial u_{1,i}}{\partial t} = \varepsilon (u_{2,i} - u_{1,i}) - \frac{u_{1,i+1} - 2 u_{1,i} + u_{1,i-1}}{\Delta x^2} - \frac{u_{1,i+2} - 4 u_{1,i+1} + 6 u_{1,i} - 4 u_{1,i-1} + u_{1,i-2}}{\Delta x^4} - u_{1,i} \frac{u_{1,i+1} - u_{1,i-1}}{2 \Delta x}$

2番目の方程式、境界方程式、および境界の近くの点はあなたに任せます。これで、のODEの結合セットができました。初期条件から、最初のタイムステップでとを割り当てることができます。ここで、各タイムステップで、使用している時間積分アルゴリズムに基づいて、異なる時間で上記の離散化方程式を満たします。オイラーが明示的である場合は、各タイムステップの開始時に満足します。それが暗黙のオイラーであれば、終わりです。 u 1 、i u 2 、$i = 1 ... N$$u_{1,i}$$u_{2,i}$

ただし、MATLABでは、これらの（およびより複雑な）メソッドをすべて処理する簡単な方法があります。必要なのは、ベクトルが与えられたときに、上記の方程式の右辺に等しい値のベクトルを返す関数です。周期的な境界条件を想定すると、次のようになります。$u_{j,i}$

function [ u_prime ] = derivative( t, u, delta_x )

u_prime = zeros(length(u),1);
u = [u(end-3:end); u; u(1:4)];

if t < 200
    epsilon = 0;
else
    epsilon = 0.1;
end


for i = 5:2:length(u) - 4;
    u_prime(i-4) = epsilon*(u(i+1) - u(i)) - ...
        (u(i+2) - 2*u(i) + u(i-2))/delta_x^2 - ...
        (u(i+4) - 4*u(i+2) + 6*u(i) - 4*u(i-2) + u(i-4))/delta_x^4 - ...
        u(i)*(u(i+2) - u(i-2))/(2*delta_x);
    j = i+1;
    u_prime(j-4) = epsilon*(u(j-1) - u(j)) - ...
        (u(j+2) - 2*u(j) + u(j-2))/delta_x^2 - ...
        (u(j+4) - 4*u(j+2) + 6*u(j) - 4*u(j-2) + u(j-4))/delta_x^4 - ...
        u(j)*(u(j+2) - u(j-2))/(2*delta_x); 
    end
end

これを、MATLABの組み込みODEソルバーにフィードできます。ode15sのパフォーマンスはかなり良いことがわかりました。正弦波ICSも想定しましたが、問題ではないようです。

N = 1000;   % Number of space discretizations

x = linspace(0, 150, N);
u_0 = zeros(2*N,1);
u_0(1:2:end-1) = sin(2*x/10);   % u_1
u_0(2:2:end) = -sin(4*x/10);    % u_2
delta_x = x(2) - x(1);

[t,u] = ode15s(@(t,u) derivative(t,u,delta_x), [0 400], u_0);

結果は次のとおりです。