ラグランジュ乗数としての圧力

非圧縮性ナビエ・ストークス方程式で、圧力の項は、非圧縮性条件を強制するラグランジュ乗数と呼ばれることがよくあります。

\begin{aligned} ρ (u_{t} + (u \cdot \nabla) u) & = - \nabla p + μ Δ u + f \\ \nabla \cdot u & = 0 \end{aligned}

$\begin{align*} \rho\left(\mathbf{u}_t + (\mathbf{u} \cdot \nabla)\mathbf{u}\right) &= - \nabla p + \mu\Delta\mathbf{u} + \mathbf{f}\\ \nabla\cdot\mathbf{u} &= 0 \end{align*}$

これはどのような意味で本当ですか？非圧縮性の制約を受ける最適化問題として、非圧縮性のナビエ・ストークス方程式の定式化はありますか？もしそうなら、非圧縮性流体流の方程式が最適化フレームワーク内で解かれる数値的類似物はありますか？

— ベン
ソース

これは、最も簡単に静止ストークス方程式を考慮して見られている問題に相当する

- μ Δ u + \nabla p = f \nabla \cdot u = 0

$-\mu \Delta u + \nabla p = f \\ \nabla \cdot u = 0$

あなたはラグランジュと、この最適化問題の後、最適条件を書き留めた場合、あなたは確かに圧力がラグランジュ乗数であることがわかります。

min_{u} \frac{μ}{2} ‖ \nabla u ‖^{2} - (f, u) so that \nabla \cdot u = 0.

$\min_u \frac\mu 2 \|\nabla u\|^2 - (f,u) \\ \text{so that} \; \nabla\cdot u = 0.$

問題間のこの等価性は、数値スキーム（私が知っている）では活用されていませんが、ストークス方程式は本質的に線形部分空間のポアソン方程式であることを示すため、分析の重要なツールです。同じことが、時間依存ストークス方程式（部分空間の熱方程式に対応）にも当てはまり、ナビエストークス方程式に拡張できます。

— ウルフギャング・バンガース
ソース

すばらしい回答をありがとう。この定式化を時間依存のケースに拡張できるかどうか知っていますか？

— ベン

はい、私が言うように、発散のない関数の部分空間に関する熱方程式につながります。

— ヴォルフガングバンガース

申し訳ありませんが、私はもっと明確にすべきでした。時間依存のストークス（またはナビエ・ストークス）方程式を最適化の問題として、おそらくは時間の経過とともに機能的に統合されたものとして再キャストする方法はありますか？

— ベン

最適化の問題としてではなく、熱方程式の解は何も最小化しません（ただし、ラグランジュ関数の定常点です）。ただし、次のようにストークス方程式を定式化できます。

u \in H_{div}

$u \in H_\text{div}$ そのため

(u_{t}, φ) + (\nabla u, \nabla φ) = (f, φ)

$(u_t,\varphi)+(\nabla u,\nabla\varphi)=(f,\varphi)$ すべてのために

φ \in {v \in H_{div} : \nabla \cdot v = 0}

$\varphi\in \{v\in H_\text{div}: \nabla \cdot v = 0\}$ 制約の対象

\nabla \cdot u = 0

$\nabla \cdot u = 0$ 。試行空間よりも小さいテスト空間を選択したため、変分方程式の左右は等しくないことに注意してください。違いは圧力です。

— ヴォルフガングバンガース