私は、「弱い定式化」の洗練された理解を強調しなかった有限要素法の基本的な紹介をしました。ガラーキン法では、（楕円形の）PDEの両側にテスト関数を掛けてから、（部分または発散定理によって）積分することを理解しています。時々、適切な弱い定式化に到達する前に、パートごとに2回統合する必要がありました（本の裏にある答えに基づいて）。しかし、同じ概念を他のPDEに適用しようとすると（それらはまだ時間に依存していません）、離散化に適した定式化がいつ行われるかを認識できません。このフォームを線形方程式に離散化できることを教えてくれる「赤旗」はありますか？
さらに、基底関数の適切なセットを選択するにはどうすればよいですか？
回答:
次のことを自問してください。
まず、部品による統合は問題の解決可能性とソリューションのスペースにどのように影響しますか？
第二に、実装できる一連の部分空間（仮説関数）を構築できる関数の空間はどれですか？
F ∈ L 2 [ 0 、1 ] L 2 φ ∈ L 2
φ ↦ ∫ F φ D Xおよび
関数はすべてコンパクトなサポートの滑らかな関数で近似できるため、すべてのテスト関数の値しかわからない場合、両方の積分汎関数が完全に既知です。しかし、テスト機能を使用すると、部品ごとに統合を実行し、左側を機能的なものに変換できますL 2
「テスト関数を取り、その差分を計算し、[0,1]上の-u 'と統合して、結果を返します。」ただし、任意の関数の微分を取ることができないため、その関数はで定義および制限されません。彼らは一般的に非常に奇妙に見えるかもしれません。L 2 L 2
それでも、この汎関数はソボレフ空間に拡張でき、有界関数でさえあることがます。手段は、与えられたことを、あなたはおおよその値を推定することができますの倍数でのノルム。さらに、機能的なは、もちろん、で定義および制限されるだけでなく、でも定義および制限されます。H 1 0 φ ∈ H 1 0 ∫ - U ' φ ' D X H 1 0 φ ' φ ↦ ∫ F φ D X L 2 H 1 0
これで、たとえば、PDEブックにあるLax-Milgram補題を適用できます。機能分析のみでそれを説明する有限要素本は、例えばシアレットによる古典、またはブレスによるやや新しい本です。
Lax-Milgram補題は、PDEの人々に純粋な分析のための優れたツールを提供しますが、彼らは目的のために多くの見知らぬツールも使用します。それでも、これらのツールは数値解析にも関連しています。実際、これらの空間の離散化を構築できるからです。
たとえば、離散部分空間をするには、帽子関数を使用します。ジャンプはなく、区分的に微分可能です。それらの微分は、区分的に一定のベクトル場です。この構成はで機能しますが、これは問題ありませんが、関数に勾配がある（つまり、平方積分可能）だけでなく、誰の勾配が順番に発散しますか？（再び、平方可積分）。それは一般的にかなり難しいです。、D = 1 、2 、3 、。。。
したがって、一般に弱い定式化を作成する一般的な理由は、Lax-Milgram補題を適用し、実際に関数を実装できるような定式化を行うことです。（レコードについては、Lax-Milgramはそのコンテキストの最後の単語ではなく、 ansatzスペースも離散化の最後の単語ではありません。たとえば、不連続ガラーキン法を参照してください。）
混合境界条件の場合、自然なテスト空間は検索空間と（分析設定で）異なる場合がありますが、分布理論を参照せずにそれを説明する方法がわかりません。これがお役に立てば幸いです。