密度汎関数理論はシステムサイズにどのように比例しますか？

理論的には、密度汎関数理論（DFT）計算を行う時間は、電子の数にどのように比例しますか？O（N）コードではなく、VASP、ABINITなどの「典型的な」DFT実装に興味があります。

最も単純な正解は、DFTがです。これは、最終的に選挙の数に比例した次元でハミルトニアンを対角化し、対角化は技術的にはO （n 3）であるという考えから来ています。$O(N_e^3)$$O(n^3)$

実際には、DFTは一連のステップであり、異なるコンテキストでは異なるステップがレート制限されます。平面波（PW）DFT（VASP、ABINIT、QEなど）に制限する場合、より強力なステートメントを作成できます。PW DFTコードについて理解する重要なアイデアは、ハミルトニアンが大きな行列として保存されることは決してないということです。代わりに、ハミルトニアン演算子のアクションが計算され、一般に「インハウス」反復対角化器（共役勾配、デビッドソンなど）で使用されます。これらの対角化器は正式には。ここで、M Vはハミルトニアンのアクションを計算するコストですが、より大きな自己整合アルゴリズムでの役割を考えると、はるかに高速に実行される傾向があります。$O(n_e MV)$$MV$

ハミルトニアンのアクションを計算するプロセスは、いくつかのステップで発生します。

• $O(n_v \ln n_v)$
• $O(n_a n_p)$$O(n_a n_p n_v)$
• $O(n_a n_p)$$O(n_a n_p^2)$

$n_e$

$O(n_e^2 n_v)$

$O(n_e n_v \ln n_v)$

$n$$n_v$$n_p$$n_a$$n_e$$n_v$$n_a$$n_e$$n_p$ ただし、固定数の電子で体積を増やす（スラブ/ワイヤジオメトリに真空を追加する）か、固定数の原子と電子でプロジェクターの数を増やす（より正確な疑似ポテンシャルを使用）ことを想像できます。

$O(n^2 \ln n)$