均一グリッドと非均一グリッド

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おそらく学生レベルの質問ですが、私はそれを自分自身にはっきりさせることはできません。数値的手法で不均一なグリッドを使用する方が正確なのはなぜですか？の形式のPDEに対する有限差分法のコンテキストで考えています。そして、ポイントソリューションに興味があると仮定します。そのため、たとえば3点近似を使用して均一なグリッドで2次導関数を近似すると、誤差は2次になることがわかります。その後、マッピングを使用して不均一なグリッドを構築し、導関数を近似するために使用される3つのポイントの係数を見つけることができます。テイラー展開を行い、2次になる導関数の境界を再度取得できます。ここで、 $u_t(x,t)=u_{xx}(x,t)$ $x^{\ast}$ $O(h^2)$ $O(h^2)$ $h$ は、不均一グリッドへのマッピングを取得した均一グリッド上の距離です。どちらの推定値にも導関数が含まれており、誤差推定の対応する導関数の大きさに依存するため、解が不均一グリッドでより正確になる理由は明らかではありませんか？

pde finite-difference

— カミル
ソース

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不均一なメッシュの理論的根拠は次のようになります（すべての方程式は定性的であると理解されています。つまり、一般的にすべての状況およびすべての方程式またはすべての可能な離散化でそう証明するふりをしません）：

‖ あなたは - {あなたは}_{h} ‖_{L^{2} （ Ω ）} \leq C h_{最大}^{2} ‖ \nabla^{2} あなたは ‖_{L^{2} （ Ω ）} 、

$\|u-u_h\|_{L^2(\Omega)} \le C h_{\text{max}}^2 \|\nabla^2 u\|_{L^2(\Omega)},$

‖ あなたは - {あなたは}_{h} ‖_{L^{2} （ Ω ）}^{2} \leq C h_{最大}^{4} ‖ \nabla^{2} あなたは ‖_{L^{2} （ Ω ）}^{2} 。

$\|u-u_h\|_{L^2(\Omega)}^2 \le C h_{\text{max}}^4 \|\nabla^2 u\|_{L^2(\Omega)}^2.$

‖ u - u_{h} ‖_{L^{2} （ Ω ）}^{2} \leq C \sum_{K \in T} h_{K}^{4} ‖ \nabla^{2} あなたは ‖_{L^{2} （ K ）}^{2} 。

$\|u-u_h\|_{L^2(\Omega)}^2 \le C \sum_{K \in {\mathbb T}} h_K^4 \|\nabla^2 u\|_{L^2(K)}^2.$

K

$K$

T

$\mathbb T$

h_{max}

$h_\text{max}$ 。むしろ、最も効率的な戦略は、セルごとのエラーの寄与をすることです。つまり、選択する必要があります。つまり、ローカルメッシュサイズは、解が粗い（大きな導関数を持つ）場合は小さく、解が滑らかな場合は大きくする必要があり、上記の式はこの関係の定量的尺度を提供します。

h_{K}^{4} ‖ \nabla^{2} u ‖_{L^{2} (K)}^{2}

$h_K^4 \|\nabla^2 u\|_{L^2(K)}^2$

h_{K} \propto ‖ \nabla^{2} あなたは ‖_{L^{2} （ K ）}^{- 1 / 2} 。

$h_K \propto \|\nabla^2 u\|_{L^2(K)}^{-1/2}.$

h_{K}

$h_K$

— ウルフギャング・バンガース
ソース

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異方性は異方性異方性空間（異方性メッシュ）で最も効率的に表現されると付け加えます。異方性は初期の粗いメッシュと整合しない場合があるため、等方性AMRアルゴリズムは非常に効率が悪い場合があります。多くの方法はアスペクト比に関して一様に安定していないため、異方性はいくつかの余分な問題を引き起こします。

— ジェドブラウン

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この例を使って自分で証明してください。間隔[0,1]のsqrt（x）を均一メッシュの区分線形補間で補間するときの最大誤差はどれくらいですか？

n点のi番目が（i / n）^ sで与えられ、sが慎重に選択されたメッシュグレーディングパラメーターであるメッシュで補間するときの最大誤差は何ですか？

— ロブ・シュライバー
ソース

h_{i}

$h_i$

h_{i}

$h_i$

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$u_t(x,t)=u_{xx}(x,t)$ $u_t(x,t)=(D(x)u_x(x,t))_x$ $D(x)$ $D(x)$

$u(x,0)$

— トーマス・クリンペル
ソース

たとえば、初期データの不連続領域をより詳細に「見る」ために使用する他の手法を教えてください。

— カミル

@カミル私はここで2つのことを念頭に置いています。最初のことは、十分な精度で「グリッドで使用される表現」への初期データの投影を計算することです。（これには通常、オーバーサンプリングやジャンプの不連続点での単純な分析計算などが含まれます。）これは良いスタイルであり、言及するのも簡単すぎることを知っていますが、私の経験では、入力データ。

— トーマスクリンペル

私が考えているもう1つのことは、入力データの一部を境界条件としてモデリングすることです。ただし、これによる節約は2倍未満であることが多く、少なくとも私の経験では、境界条件を正しくするのは難しいことで有名です。だから私はこれを完璧に行う努力の価値はないことが多いと言います（またはその方向の問題の対応する拡張が本当に小さい場合、またはあなたが本当に高い精度が必要な場合のみ努力する価値があります）境界条件と境界を十分に遠くに配置すると、十分に機能することがよくあります。

— トーマスクリンペル

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カミル、微分方程式の解法はグローバル、補間はローカルです。区分的多項式補間では、特異点から遠く離れた精度は特異点に悩まされません。残念ながら、これは2点境界値問題などの楕円方程式を解く場合にはまったく当てはまりません。特異点は、近似をグローバルに汚染します。

試してみてください。[0,1]上のD（sqrt（x）Du）を同次ディリクレbcsで解くDは微分演算子です。n点均一メッシュで有限要素または有限差分を使用します。i番目の点が（1 / n）^ 1.5であるメッシュと比較してください。均一メッシュの最悪の誤差は特異点から遠く、傾斜メッシュの場合よりもはるかに大きいことに注意してください。

— ロブ・シュライバー
ソース