双曲線PDEの多くの数値的手法は、リーマンソルバーの使用に基づいています。このようなソルバーは、衝撃波を正確にキャプチャするために不可欠です。最もよく研究されたシステムで使用できるこのようなソルバーは数多くあります（正確なソルバー、Roeソルバー、HLLソルバーなど）。どちらを使用するかをどのように決定すればよいですか？
双曲線PDEの多くの数値的手法は、リーマンソルバーの使用に基づいています。このようなソルバーは、衝撃波を正確にキャプチャするために不可欠です。最もよく研究されたシステムで使用できるこのようなソルバーは数多くあります（正確なソルバー、Roeソルバー、HLLソルバーなど）。どちらを使用するかをどのように決定すればよいですか？
回答:
双曲線PDEの数値解法では、リーマンソルバーの使用は、ショック（保存された変数の不連続なジャンプ）が発生する可能性のある波の問題を正確にシミュレーションするための保守的なショックキャプチャ方法の重要なコンポーネントです。このような問題の正確な解決策を得るには、適切な巻き上げ手法を使用する必要があります。リーマンソルバーがこれを担当します。リーマンソルバーは、セル（fx。有限ボリュームの場合）または要素（fx。不連続ガラーキン有限要素法の場合）間のインターフェイス問題の正確な解を求めます。このインターフェイスの問題の解決策は、インターフェイスの両側の解決策に基づいており、これをインターフェイス全体の（保存された変数に関して）フラックスの正確な再構築の基礎として使用しようとしています。
このような（インターフェースに対してローカルな）リーマン問題の解決には、厳密なリーマンソルバーと近似リーマンソルバーの2つの標準的なアプローチがあります。多くのPDEには、厳密な閉形式の解法はありません。その場合、リーマンソルバを近似する必要があります。実際には、リーマン問題を正確に解決するのは（あまりにも）高価かもしれません。その場合、リーマンソルバーを近似することに頼ることがより実用的かもしれません。同じ理由で、Lax-Freidrichsタイプのフラックスが簡単な手段として広く使用されています。
本質的に、リーマンソルバーの選択は、解の波速度と結果として生じる効率をどの程度正確に表現しようとするかに関係しています。
問題に依存しています。リーマン問題は、セルインターフェイスのどちらかの側からのデータに基づいています。このデータに基づいて界面でフラックスを再構築するには、問題の双曲線PDEの完全な波動構造に関する情報を知る必要があります。これにより、リーマン問題は問題に依存するため、リーマンソルバーの選択にもなります。要するに、正確なソルバーは全波構造を考慮に入れようとし、Roeソルバーはローカル波構造の局所近似（線形化と特別な平均化による）に基づいており、HLLソルバーはローカルでの2つの支配的な波速度の推定に基づいています衝撃波や接触の不連続性を越えて保持するために、ランキン-フゴニオ条件を満足させることにより、波の構造を保存し、保存を課します。
したがって、特定のソルバー、正確なソルバー、または近似Roe / HLL / etcソルバーの選択は、精度（モデル方程式の基礎となる物理学を模倣する）と効率のニーズのバランスをとることに依存します。最後に-私が見るように-実際の応用では、多くの場合、近似リーマンソルバー（fx。Lax-Friedrichsタイプ）の使用を指示する効率要件があります。
EF Toroの教科書「リーマンソルバーと流体力学の数値計算法」Springerで、この主題に対する良い説明が与えられています。