拡張ラグランジアンの効率的な前提条件

私は非線形等式制約で非線形問題を解決したいのですが、よく知られているように、線形化されたシステムの条件数を損なうペナルティ正則化項を持つ拡張ラグランジアンを使用しています（各ニュートン反復で意味します） 。ペナルティ項が大きいほど、条件数は悪くなります。その特定のケースでこの悪い条件を取り除くための効率的な方法を誰かが知っていますか？

具体的には、一般的に冗長になる可能性のある多くの制約があるため、古典的な拡張ラグランジアンを使用しています。したがって、制約変数を主変数に盲目的に組み込むことは非常に便利です。KKTシステムで直接変数の削除または効率的な前提条件に基づいた他のより洗練されたアプローチを試しましたが、制約の冗長性のために、いくつかの問題があります。

変数に関する問題は、ラグランジュに従って、 L（U、λ ）：= W（U）+ ρ λ $\mathbf u =[u_1,\cdots,u_n]$

$$\mathcal L(\mathbf u,\lambda):= \mathcal W(\mathbf u) + \rho \lambda^T \,c(\mathbf u) + \frac{\rho}{2} c^2(\mathbf u)$$

したがって、一般的に、各ニュートン反復の目標は、 With（制約のヘッセ行列を削除） という形式の問題を解決することです および b（\ mathbf u、\ rho）：=-\ big（\ nabla _ {\ mathbf u} \ mathcal W（\ mathbf u）+（\ rho + \ lambda ^ Tc（\ mathbf u））\ nabla _ {\ mathbf u}（\ mathbf u）\ big） 大文字のCはC（\ mathbf u）を意味します：= \ nabla _ {\ mathbf u} c（\ mathbf u）。

$$A \Delta u = b$$ $$A(\mathbf u,\rho): = \nabla_{\mathbf u}^2 \mathcal W(\mathbf u) + \rho C^T(\mathbf u)C(\mathbf u)$$ $$b(\mathbf u,\rho) :=- \big(\nabla_{\mathbf u}\mathcal W(\mathbf u) +(\rho +\lambda^Tc(\mathbf u)) \nabla_{\mathbf u}(\mathbf u)\big)$$ $C$$C(\mathbf u) := \nabla_{\mathbf u} c(\mathbf u)$

ありがとうございました。

問題の構造に応じて、悪条件の拡張ラグランジアンシステムを直接解くことができます。たとえば、BDDC / FETI-DPは、ポアソン比に依存しない収束速度（サブドメインでは区分的に一定ですが、任意のジャンプ）で、主形式のほぼ非圧縮性の弾性を解決できます。同様に、ボリュメトリックモードを正確に再現するマルチグリッドメソッドは、このプロパティを持つことができます。このような方法は問題固有であり、一般に、大きなペナルティはシステムを事前調整するのが困難になります。

前提条件の選択の柔軟性を高めるために、明示的な二重変数を導入し、より大きなサドルポイントシステムを記述することをお勧めします

$$\begin{pmatrix}A & C^T \\ C & -\rho^{-1} \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} b \\ 0 \end{pmatrix}$$

$A - \tilde\rho C^T C$$\tilde \rho \le \rho$$-\rho^{-1} - C A^{-1} C^T$PCFIELDSPLIT

問題の原因についてより具体的にできる場合（最小化するものと制約となるもの）、より具体的な参照を提案することができます。

KT条件のネタバレ項に追加の変数を導入すると、行列に入るペナルティファクターの逆数のみで、数値的に適切に動作するより大きな対称システムを見つけることができます。

$(A+\rho C^TC)x=b~$$\rho$$y=\rho Cx$$Ax+C^Ty=b$$Cx-\rho^{-1}y=0$