チェビシェフ多項式の高速（近似）評価

チェビシェフ補間多項式の高速（近似）評価を均一なグリッド（チェビシェフノードでの関数値を指定）に実装する好ましい方法はありますか？私の問題は、補間多項式の次数が増えると補間が遅くなることです。

次のアイデアが頭に浮かびました。

• 不均一FFT（NFFT）手法を採用する
• FFTを使用して、おそらくより細かい（チェビシェフ）グリッドに最初に行った後で、チェビシェフノードでの導関数を計算します。次に、（近似）評価に区分的3次補間を使用します。
• "近くの"チェビシェフノードで関数値（および場合によっては導関数）のみを使用する式を使用します（これは特定のNFFT手法に関連しています）。

重心補間を使用することを考えましたか？チェビシェフノードで効率的に行う方法の詳細については、このホワイトペーパーのセクション5を参照してください。

$n$$m$$\mathcal O(nm)$

更新

別の方法として、補間多項式のチェビシェフ係数がある場合は、クレンショウアルゴリズムを使用します。チェビシェフノードでの関数値のみがあり、多項式を数回評価する必要がある場合は、FFTで係数を計算できます。

クレンショウアルゴリズムは、加算と乗算のみを必要とするため、重心補間よりもやや高速であり、非常にうまくベクトル化されます。