線形制約の絶対値

制約に絶対値がある次の最適化問題があります。

ましょ$\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n$及びサイズの列ベクトルであるそれぞれ。以下を解決したいと思います： $\mathbf{f}_0, \mathbf{f}_1, \ldots, \mathbf{f}_m$$n$

$$\begin{align} \min &\mathbf{f}_0^T \mathbf{x} \notag \\ \text{s.t.} &|\mathbf{f}_1^T \mathbf{x}| \leq |\mathbf{f}_2^T \mathbf{x}| \leq \ldots \leq |\mathbf{f}_m^T \mathbf{x}| \end{align}$$

実行可能な空間が凸面にならないことを知っているので、おそらく問題を解決するためにMILPが必要になります。必要なバイナリ変数の最小数と、問題を解決するセットアップを探しています。

通常、不等式の片側のみに絶対値がある場合（http://lpsolve.sourceforge.net/5.1/absolute.htm）、絶対値を扱うのは簡単です。ただし、このケースはより複雑なようです。

前もって感謝します。

最も簡単な方法は、バイナリ値を追加して解決することです$m$$s_i \in {0,1}$

$$\begin{align} \min &\mathbf{f}_0^T \mathbf{x} \notag \\ \text{s.t.} & 0 \le (2s_i-1) \mathbf{f}^T_i \mathbf{x} \le (2s_{i+1}-1) \mathbf{f}^T_{i+1} \mathbf{x} & \forall i\end{align}$$

（1）実質的に高速なものは存在しないか、（2）凸プログラムとして再定式化する特別なトリックがあると思います。おそらく（1）。

滑らかでない問題にはソルバーを使用できます。http://www.mat.univie.ac.at/~neum/glopt/software_l.html#nonsmを参照してください