非線形方程式の反復解

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この質問がばかげている場合は、事前にお詫び申し上げます。の根を計算する必要があります

u - f (u) = 0

$\begin{equation} u -f(u) =0 \end{equation}$

ここで、は実数ベクトルで、は実数ベクトル値関数です。私はニュートンの方法（うまくいった）から始めましたが、もっと簡単な方法が反復的な解決策になることに気付きました $u$ $f(u)$

u_{i + 1} = f (u_{i})

$\begin{equation} u_{i+1} = f(u_{i}) \end{equation}$

これははるかに速く、明らかにニュートンの方法と同じくらい正確/安定です。

今の質問：

これは正しいアプローチですか、それとも別の方法を使用する必要がありますか？
収束率、安定性、加速度などについて言えることはありますか？
グローバルに収束していますか？

ご清聴ありがとうございました。

iterative-method nonlinear-equations roots

— ガブリエルランディ
ソース

3

これは固定小数点反復と呼ばれます。私はこの問題に精通していませんが、少なくとも、グーグルに投げかけるいくつかの新しい言葉を与えるでしょう。私の記憶が正しければ、固定小数点は、さまざまな開始点を持つさまざまな関数に対して表示されます。

— Godric Seer 2012

1

あなたの

？ニュートンの方法は、多くの場合、固定小数点反復よりも高速です。

f (u)

$f(u)$

— ビル・バルト

4

観察された収束は、

関数形に大きく依存します。さらに、もし

、次いで、反復

である上にニュートン反復

。

f (\cdot)

$f(\cdot)$

f (u) = u - (\nabla g)^{- 1} g (u)

$f(u) = u - (\nabla g)^{-1} g(u)$

u_{i + 1} = f (u_{i})

$u_{i+1} = f(u_i)$

g (u) = 0

$g(u) = 0$

— ジェドブラウン

7

場合、ここでは解です。あなたが話している固定小数点の反復は、収束率と局所的に線形に収束しています。したがって、が小さいかゼロの場合、この方法はニュートンの方法と競合します。 $q:=|f'(x^*)|<1$ $x^*$ $q$ $q$

解から遠く離れているため、グローバル情報がない場合（収束をもたらすリプシッツ定数など）、収束を予測することは困難です。 $<1$

— アーノルド・ノイマイヤー
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5

フェイゲンバウムフラクタルは、不思議な不動点反復がどのようになり得るかの良い例です。

http://en.wikipedia.org/wiki/Feigenbaum_fractal

http://en.wikipedia.org/wiki/File:Logistic_Bifurcation_map_High_Resolution.png

2番目のリンクは、パラメーターの1つが変化するときに、ロジスティックマップに適用される固定小数点反復の動作をプロットします。特定の値については、直線的にしか収束しません。他の値の場合、さまざまな長さのサイクルに収束します。さらに別のクラスの値の場合、完全に無秩序に動作します。

つまり、固定小数点反復の動作は、問題の関数に完全に依存します。外観が似ている関数でも、放射状に異なる動作をする場合があります。

注：Jedが指摘するように、ニュートンの反復も同様に奇妙な場合があります。

— ジェフリーアーヴィング
ソース

公平に言うと、多くの一般的なフラクタルは、単純な方程式のニュートン反復のジュリア集合です。

— ジェドブラウン

4

バナッハは、固定小数点の定理は、固定小数点の反復がグローバルに収束したときの標準的な状況を説明しています。特に、定理の一意性の部分は、解が一意でない場合にのみローカル収束を期待できることを示しています。

$f^n=f\circ \ldots\circ f$ $f$

— トーマスクリムペル
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2

この参考文献を参考にしてください：大規模でスパースで構造化された固定小数点問題を解決するためのホモトピー。R.サイガル。Mathematics of Operations Research、Vol。8、No。4（1983年11月）、pp。557-578。

— 鹿のハンター
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1

この方法は正しく、「逐次置換」と呼ばれます。詳細については、このリファレンスの 189ページをご覧ください。

— パピロ
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