実際の行列に適用されたQRアルゴリズムはどのようにして複素固有値を返しますか？

私は固有値アルゴリズムの初心者ですが、何か注意が必要です。QRアルゴリズムは、実数/複素数の固有値を生成する実数/複素数行列で機能します。ただし、実際の行列から複素固有値を生成することはできません。ここでは、ジュリアで書かれ、こことここから派生した単純な例を示します。

using LinearAlgebra
A = [7 3 4 11 -9 -2;
    -6 4 -5 7 1 12;
    -1 -9 2 2 9 1;
    -8 0 -1 5 0 8;
    -4 3 -5 7 2 10;
    6 1 4 -11 -7 -1]
M = copy(A)

for i=1:100
    global M
    Q,R = LinearAlgebra.qr(M);
    M=R*Q;
end

display(diag(M))
display(eigvals(A))

6-element Array{Float64,1}:
 -2.8415406888480472
  8.675063708533656
  3.658872985794657
  6.3411270142053695
  0.12201942568224483
  3.0444575546321087
6-element Array{Complex{Float64},1}:
  2.916761509842819 + 13.248032079355992im
  2.916761509842819 - 13.248032079355992im
  5.000000000000005 + 6.000000000000003im
  5.000000000000005 - 6.000000000000003im
 1.5832384901571723 + 1.4155521348117128im
 1.5832384901571723 - 1.4155521348117128im

行列Aを実数成分のみの複素数として定義しても、違いはありません。

私の質問は：

• 主題に関する私の概念的な誤解は何ですか？
• どのステップが間違っていますか？
• そしてそれを修正する方法？

ありがとうございました

簡単に言うと、行列$A$適用されるQRアルゴリズムは、実際のシュール分解に収束する反復手順です。A = Q R Q Tとなるような、ブロック上三角形式のユニタリ行列$Q$と行列$R$（以下を参照）。したがって、Qの列は固有ベクトル（計算される主要なオブジェクトです）であり、RはAと同じ固有値を持ちます。$A = QRQ^T$$Q$$R$$A$

重要な点は、ブロックの上三角の形です。つまり、

• サイズ$1\times 1$。この場合、$R_{ii}$は$A$（実）固有値、または
• サイズ$2\times 2$。この場合、$R_{ii}$は$A$複素共役固有値のペア（$2+i$や$2-i$）があります。

$2\times 2$$R$eigvals

$n\times n$$n$$A=\begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$$\pm i$$R$$2\times 2$ ブロック（たとえば、対角要素が許容値より大きいかどうかをチェックすることにより）、そうである場合は、数式によって固有値を計算します。

eigenvalues$2\times 2$

using LinearAlgebra
A = [7 3 4 11 -9 -2;
    -6 4 -5 7 1 12;
    -1 -9 2 2 9 1;
    -8 0 -1 5 0 8;
    -4 3 -5 7 2 10;
    6 1 4 -11 -7 -1]
M = copy(A)

for i=1:100
    global M
    Q,R = LinearAlgebra.qr(M);
    M=R*Q;
end

eig = Complex{Float64}[]
let
    i=1
    N=size(M,1)
    while i<N   
        if abs(M[i+1,i])<1e-10             
            append!(eig,M[i,i])         
            i+=1         
        else             
            append!(eig,eigvals(M[i:i+1,i:i+1]))         
            i+=2         
        end                 
    end
    if length(eig)<N
       append!(eig,M[N:N,N:N])
    end                 
end       

QRアルゴリズムを忘れて、固有値が何であるかを覚えてください-それらは行列の特性多項式の根です（例：https : //en.wikipedia.org/wiki/Characteristic_polynomialを参照）。次数Nの実数行列の場合、これは実数係数をもつ次数Nの多項式です。しかし、実際の係数は必ずしも実際の根を意味するわけではなく、複雑な共役ペアがある場合があります。したがって、一般的な実数行列は複素固有値を持つ場合があります。

この方程式を何度も使用して、収束をテストしました。最初の行の11は-11です。マトリックスと同様に、シフトなしでQRアルゴリズムを実行すると、約60回の反復で、複雑なものであっても固有値がほぼ正確に対角線上に表示されるマトリックスになります。5 + -6iは最初の2行にあり、4と3は次の2行にあり、最後に1 + -21が右下のブロックにあります。2x2行列の固有値を計算せずに、通常、複雑な値がこのようにはっきりと表示されるとは考えないでください。