巨大な高密度線形システムを解く？

次の線形システムを反復法で効率的に解くことに希望はありますか？

$A \in \mathbb{R}^{n \times n}, x \in \mathbb{R}^n, b \in \mathbb{R}^n \text{, with } n > 10^6$

$Ax=b$

と

Δ - 6 6 $A=(\Delta - K)$、ここでは、ラプラス演算子の離散化から生じる、いくつかの対角線を持つ非常に疎な行列です。メインの対角線にはがあり、他のつの対角線にはがあります。$\Delta$$-6$$6$$1$

R n × $K$は、完全に1 で構成される完全な行列です。$\mathbb{R}^{n \times n}$

解くと、ガウスザイデルのような反復法で問題なく動作します。これは、スパースの斜めに支配的な行列だからです。問題は、多数の効率的に解決することはほとんど不可能であると思われますが、の構造を利用して、おそらくそれを解決するためのトリックはありますか？$A=\Delta$$A=(\Delta - K)$$n$$K$

編集：のような何かをするだろう

$\Delta x^{k+1} = b + Kx^{k}$ // Gauss-Seidel でを解く$x^{k+1}$

正しいソリューションに収束しますか？場合、このような分割方法は収束することを読みました。ここで、はスペクトルノルムです。いくつかの異なる小さな値に対しての固有値を手動で計算しましたが、負の値がかなり大きいものを除いて、すべてゼロです。（約500 ）それでうまくいかないと思います。ρ Δ - 1 K N N = $\rho(\Delta^{-1} K) < 1$$\rho$$\Delta^{-1} K$$n$$n=256$

編集：に関する詳細$\Delta$：

$\Delta \in \mathbb{R}^{n \times n}$は対称で、負の定値で対角的に支配的です。

matlabで次の方法で作成されます

n=W*H*D;

e=ones(W*H*D,1);

d=[e,e,e,-6*e,e,e,e];

delta=spdiags(d, [-W*H, -W, -1, 0, 1, W, W*H], n, n);

適切なデータ構造を使用する場合、ラップトップでは、スーパーコンピューターではの問題を解決できる2つの選択肢があります。効率のために、マルチグリッドを使用して解決する必要があることに注意してください。どちらの場合も、コストは解決するよりも小さな要因になります。2つのアプローチは、Schur補数引数を介して同等ですが、実装が異なるため、別々に説明します。 N ≈ 10 12 Δ $n>10^6$$n \approx 10^{12}$$\Delta$$\Delta$

• 境界システムを使用する

ここで、はすべて1で構成される列ベクトルであり、システムを解きます$\ee$

反復ソルバーまたは直接ソルバーを使用します。

• クリロフメソッドを使用して行列の適用通り（すなわちスパース行列プラス階数1の補正、既存のプレコンディショナーの使用。、または特に、で直接解決を使用する場合は、Sherman-Morrison公式で更新します。Δ - E E T P - 1 ≈ Δ - 1$A$$\Delta - \ee \ee^T$$P^{-1} \approx \Delta^{-1}$$\Delta$