通常のルンゲクッタ法はSDEに一般化できないという理解しやすい議論はありますか？

確率微分方程式（SDE）を解く単純なアプローチは次のとおりです。

通常のマルチステップのルンゲクッタ法を採用し、
基礎となるウィーナープロセスの十分に細かい離散化を使用し、
ルンゲクッタ法の各ステップをオイラー丸山に類似させます。

今、これは複数のレベルで失敗し、私はその理由を理解しています。しかし、私は今、最初にルンゲクッタ法と確率微分方程式の知識がほとんどない人にこの事実を納得させるように命じられています。私が知っているすべての議論は、私が与えられた文脈でうまくコミュニケーションできるものではありません。したがって、私は上記のアプローチが破滅的であるという簡単に理解できる議論を探しています。

runge-kutta education stochastic-ode

— Wrzlprmft
ソース

@BiswajitBanerjee：私はこれを承知しており、これを可能な限り深く理解しているとは私は主張していません。それでも、ここですべての引数を提供しても、回答を提供できる人はそれらを認識しているため、回答が改善されるとは思いません。さらに、このケースは、何かがうまくいかない理由を説明するためのものであり、「テストして失敗した」から始まり、当然のことながら多くの回答があります。

— Wrzlprmft 2017

私は確率的ODEの専門家について話していませんでしたが、私たちが「私たち」と言ったとき、確率変数とRKを理解する平均的な読者です。しかし、あなたの考えの例を提供したくないのであれば、私はこれ以上邪魔にはしません。

— Biswajit Banerjee 2017

確率微分方程式を取ってみましょう：

{バツ}_{t} = f （ t 、 {バツ}_{t} ） d t + g （ t 、 {バツ}_{t} ） d W_{t}

$X_t = f(t,X_t)dt + g(t,X_t)dW_t$

高次メソッドの背後にある数学が必要な理由を直感的に理解できるいくつかの異なる引数を次に示します。「与えられたブラウン運動について、数値積分はその軌道をどれだけうまく解くのか」と同じことである、強い次数に関して議論します。 $W(t)$

方程式の規則性

まず、提案された方法では、が継続的に微分可能ではないという事実を考慮に入れていません。実際、Rosslerの結果を使用して、提案したように通常のRKメソッドを拡張すると収束メソッドが得られますが、次数が0.5しか強くないことを示すことができます。その理由は、が微分可能でテイラー級数を持つ微積分を使用して導出されたためです。ブラウン運動は微分可能ではなく、代わりにホルダー連続性があります。 $X_t$ $X_t$ $\alpha < 0.5$

しかし、摂動論のように、定期的に十分ではありませんプロセスは、テイラー級数の面で拡張可能ではありませんが、ホルダーの規則性と、彼らはの条項にPuiseuxシリーズの面で拡張することができ、すなわちブラウン運動のためにANがありますのようなものの観点から拡張されたテイラー級数概念への拡張 $\alpha$ $\alpha$ 派生物。定期的な微積分のように、第一項は、「線形項」、すなわち変更されにとに、あなたは右について何かを得ます。オイラー丸山のようなものを含むメソッドが強い次数0.5に収束するのはこのためです。テイラー級数の最初の項が正しくなります。ただし、より高次の項には、が継続的に微分可能ではないという事実を修正する必要があるため、通常の方法ではそうすることができません。 $\frac{1}{2}$ $dt$ $\Delta t$ $dW_t$ $N(0,dt)$ $X_t$

瞬時相関と反復積分

これは簡単なヒューリスティックな説明ですが、もう少し説明があります。他のいくつかの詳細を見てみましょう。テイラー級数は導関数の拡張だけでなく、統合する高次数の数と考えることもできます。一度積分されます。しかし、項を追加する場合、単位を正しくするために、二重積分を行う必要があります。は2回積分するのは簡単ですが、とは何 $X_t = X_0 + \Delta t f(t,X_t)$ $dt^2$ $dt^2$ $dW_t^i dW_t^j$ ？これらは、ブラウン運動間の瞬間的な相関です。二重積分を計算するには、これを知る必要があります。平均だけを見ている場合は、これを無視することができます。しかし、どの軌道でも、微分方程式系のさまざまなブラウン運動の間には相関があります。ブラウン運動間に相関関係がないと仮定することは、決定論的方法の丸山拡張を特徴付ける別の方法ですが、シリーズの次の項（1.0項）を取得するには、これを正しく行う必要があります。ミルスタイン補正は、これらの相関項を正確に追加しています。ノイズが対角線である場合、これは、それ自体以外には相関関係がないことを理解することと同じですが、自己との相関関係は、ある分散です $dt$ 、したがって、対補正、つまりです。非対角ノイズがある場合、これらの二重積分を近似してブラウン運動の瞬間的な相関を考慮に入れる必要があります。ここでの一般的な近似は、非対角ノイズシミュレーションを非常に複雑にするWiktorsson近似です。（二重積分でさえも解析解がないため）。 $dW_t^2$ $dt$ $dW^2 - dt$

拡散の平均効果

$\mathcal{O}(\Delta t)$ $g$

$g$ $g$ $X_t$ $dW_t$ $dW_t$ $\sqrt{\Delta t}$ $g(t,X_t)$

\frac{g （ t + Δ t 、 {バツ}_{t + Δ t} ） - g （ t 、 {バツ}_{t} ）}{\sqrt{Δ t}}

$\frac{g(t+\Delta t,X_{t+\Delta t}) - g(t,X_t)}{\sqrt{\Delta t}}$

$X_{t + \Delta t} = X_t + g(t,X_t)\sqrt{\Delta t}$

$g$ $X_t$ $g(t,X_t)\sqrt{\Delta t}$ $c_i$ $X_{t + c_i\Delta t}$ $g(t,X_t)\sqrt{c_i \Delta t}$ $g(t,X_t)\sqrt{\Delta t}$

結論

$\mathcal{O}(\Delta t)$ $\mathcal{O}(\sqrt{\Delta t})$

もちろん、状況によっては、より高次のメソッドを提供する適切な一般化を見つける方法がありますが、これはぶら下がりスレッドのままにしておきます。お役に立てれば。

— クリス・ラッカウカス
ソース