三角形メッシュの不規則性を定量化するために一般的に使用されるメトリック

平面に三角形のメッシュがあるとします。これは、たとえば力学の問題を最終的に解決するために描かれました。

頂点間の距離と重心間の距離がすべて同じである限り、正三角形のメッシュが最適です。これにより、補間と勾配の計算が簡単かつ正確なタスクになります。ただし、制約と状況により、すべての正三角形のメッシュで作業できるとは限りません。

したがって、質問は任意の形状の三角形要素のメッシュに関するものです。

個々のメッシュ要素について。いくつかの基礎となる理想的な等辺形状からの1つの一般的な三角形の相違点を定量化するために一般的に使用されるメトリックはどれですか？

メッシュ全体について。全体で任意の三角形のメッシュの不規則性を定量化するために使用されているメトリックはどれですか？これらのメトリックは、メッシュのスクランブルの程度を示す必要があります。

一緒に考えてくれてありがとう。

注意 有限要素コミュニティからのすべての貢献は高く評価されています。この質問については、関心が純粋にジオメトリの違いを定量化することにあることに注意してください（任意の三角形と正三角形）。補間および調整エラーに対するその後の影響は範囲外です。これらは洞察に富み、関連性があるとすると、数学的な処理が複雑になります。

@Nicoguaroと@Paulが質問投稿へのコメントで述べたように、この種のことを行うには非常に多くの方法があり、単一の「最良の」アプローチがあるかどうかはわかりません。

バークレーでのジョナサン・リチャード・シューチャックのレビュー研究から、答えは次のとおりです。

記号、用語、特別な機能、および場合によってはそれ以上のもの（例：四面体）については、元のドキュメント（バージョン31/12/2002）を参照してください。第6章は品質対策についてです。リンクされているドキュメントは拡張バージョンであり、JRSのWebページには要約版もあります。

個人的には、「ボリュームの長さ」メトリックのファンです。これは、（等方性）シンプレックス品質の優れた堅牢なスカラーインジケーターであり、計算が安価です。2次元では：

$a = \frac{4\sqrt{3}}{3}\frac{A}{\|\mathbf{e}_{\mathrm{rms}}\|^{_2}}$

ここで、は三角形の符号付き領域であり、二乗平均平方根の長さです。理想的な要素は達成ますが、これは歪みが増加するとゼロに向かって減少します。方向が反転した反転要素のです。$A$$\|\mathbf{e}_{\mathrm{rms}}\|$$a=1$$a < 0$

非構造化三角形分割の品質を評価するには、そのような要素の品質メトリックのヒストグラムを調べるのが一般的です。そのようなものの実装は世の中にたくさんありますがMATLAB、私の直接的なコードベースが1つあります。

ボリューム長のスコアに加えて、要素の角度と頂点の次数のヒストグラムもデフォルトで計算されます。

これはすべてメッシュの使用目的に依存するため、この質問に対する答えは一般的にはないと思います。たとえば、計算流体力学を行っている場合、境界層の近くで非常に異方性のあるメッシュが必要になる場合があります。これで計算電磁気学を行っている場合、最良のメッシュはおそらく完全に異なります。

文献には、「メッシュ品質」の基準について多くの異なる定義があります。それらのほとんどは、できるだけ正三角形である三角形のメッシュを優先します。最小の角度を最大化するという考え方にも言及できます（これは、固定された点のセットのDelaunay三角形分割によって実現されます）。これは、コメントの1つで言及されているJonathan Shewchukの分析によって正当化されます。これは、この角度をP1要素で離散化されたラプラス方程式の剛性行列の条件数に関連付けますが、意図した用途によっては、誰かの良いメッシュが他の貧しいメッシュ。

私は「ジオメトリの差を純粋に定量化する（任意の三角形と正三角形）」が意味をなさないと思います：三角形が正三角形であるかどうかを測定し、どの「偏差正三角形」が最良のものであるかを決定する前に、理解する必要があります「正三角形」が私たちが望むものであるかどうか、そして常にそうであるとは限りません！それはすべて、あなたが言う「補間と条件付け」から来ています。はい、「数学的処理を複雑にする」とおっしゃっていましたが、それがなければ、特定のアプリケーションの客観的な基準とまったく意味のない基準とを区別することはできません。