高速で、後方安定（左）

非常に少数の退化したケース（< 0.1 ％）で、多くの$3\times3$行列逆行列（ニュートン反復極分解の場合）を計算する必要があります。$<0.1\%$

明示的な逆行列（行列のマイナーを行列式で割ったもの）は機能しているようで、約32〜40の融合フロップです（行列式の逆数の計算方法によって異なります）。detスケールファクターを考慮しない場合、18のフューズフロップのみです（9つの要素はそれぞれab-cd、2のフューズフロップの形式です）。

質問：

• 18（任意のスケール）未満または32（1の逆数を考慮した適切なスケール）の融合フロップを使用して逆を計算する方法はあり$3\times 3$ますか？
• $3\times 3$行列の逆安定左逆行列を計算するための経済的な方法（〜50 fフロップを使用）はありますか？

単精度のフロート（iOSゲーム）を使用しています。後方安定性は私にとって興味深い新しい概念であり、実験してみたいと思います。ここだ記事の考えを引き起こしました。

高速インバース$3\times 3$に関する最初の質問について考えてみます。検討する

$$A=\left[ \begin{array}{ccc} a & d & g\\ b & e & h\\ c & f & i \end{array}\right]$$

行列は小さく、非常に一般的であるため（要素の既知の構造、ゼロ、相対スケールを備えていない）、次のような任意のスケール（）のアルゴリズムを提供することは不可能だと思いますAのエントリに関する事前の情報がない限り、9つの要素のうちそれぞれに2つの融合フロップが必要であり、すべての製品は一意であるため、18の融合フロップよりも高速です。 ここに、$1/\det(A)$$A$A − 1 det （A ）= adj （A ）= [ e i − f h d i − f g g e − d h b i − c h a i − c g a h − b g c e − b f a f − c d a $a,\ldots,i$

$$A^{-1}\det(A)=\text{adj}(A)= \left[\begin{array}{ccc} ei-fh & di-fg & ge-dh\\ bi-ch & ai-cg & ah-bg\\ ce-bf & af-cd & ae-bd \end{array}\right]$$ $\text{adj}(A)$ アジュゲート（補因子の転置）を示します。これは本質的に「任意スケール」の逆行列です（逆行列が存在する場合）。

ただし、一部の計算は計算に再利用できます。最初の列に展開すると（さらに5つの選択肢があります）： 注意してください（* ）は評価中にすでに計算されてい。したがって、行列式の逆数は、4つの追加の融合フロップで計算できます（逆数が1フロップと見なされる場合）。$\det(A)$

$$\begin{aligned} \det(A)&=a(ei-fh)+b(fg-di)+c(dh-ge)\\ &=a\underbrace{(ei-fh)}_*-b\underbrace{(di-fg)}_*-c\underbrace{(ge-dh)}_* \end{aligned}$$ $\text{adj}(A)$$1/\det(A)$

これで、各9要素は、すでに取得した行列式の逆数によってスケーリングされ、さらに9つの融合フロップが追加されます。$\text{adj}(A)$

そう、

1. 18個の融合フロップでを計算し$\text{adj}(A)$
2. 計算融合3には、すでに計算のエントリを使用してプ$\det(A)$$\text{adj}(A)$
3. を見つけます（1フロップと仮定）。$\frac{1}{\det(A)}$
4. すでに計算された各要素を、別の9つの融合フロップでによってスケーリングし。$\text{adj}(A)$$\frac{1}{\det(A)}$

その結果、18 + 3 + 1 + 9 = 31のフューズドフロップになります。行列式の計算方法については説明していませんが、フロップをさらに1つ節約できると思います。または、ステップ3でのチェックを実行するために使用できます。ここで、は縮退（不可逆）ケースの許容誤差であり、結果として32のフューズフロップになります（1フロップと仮定）。$|\det(A)|>\epsilon$$\epsilon$if

残りの計算はすべて一意であるため、一般的な行列の逆行列を計算する高速な方法はないと思います。スピードの観点から、ケーリー・ハミルトンいけないの助けを使用して、一般的のように、それはの計算が必要になりますためにA 2 3 × $3\times 3$$A^2$$3\times 3$他のいくつかの演算の他に行列。

注意：

• この答えは数値の安定性を扱いません
• ベクトル化とメモリアクセスパターンの最適化の可能性についても説明されていません