PDE逆問題における点ごとの観測と連続的な観測

私は博士号の逆問題に取り組んでいます。簡単にするために、を決定します$\beta$

$L(\beta)u \equiv -\nabla\cdot(k_0e^\beta\nabla u) = f$

いくつかの観測から$u^o$ ; $k_0$は定数で、$f$は既知です。これは通常、極値化のための最適化問題として定式化されます

$J[u, \lambda; \beta] = \frac{1}{2}\int_\Omega(u(x) - u^o(x))^2dx + \int_\Omega\lambda(L(\beta)u - f)dx$

ここで、$\lambda$はラグランジュ乗数です。\ betaに関するJの関数微分は、随伴方程式を解くことにより計算できます。$J$$\beta$

$L(\beta)\lambda = u - u^o.$

通常の理由により、いくつかの正則化関数$R[\beta]$が問題に追加されます。

ここでの暗黙の仮定は、観測データ$u^o$がドメイン\ Omega全体にわたって連続的に定義されていること$\Omega$です。私の問題が代わりに使用する方が適切だと思う

$J[u, \lambda; \beta] = \sum_{n = 1}^N\frac{(u(x_n) - u^o(x_n))^2}{2\sigma_n^2} + \int_\Omega\lambda(L(\beta)u - f)dx$

ここで、は測定が行われるポイントであり、は番目の測定の標準偏差です。多くの場合、このフィールドの測定値はむらがあり、チャンクが欠落しています。それを避けることができるのであれば、なぜ疑わしい忠実性の連続したフィールドを得るために補間するのですか？$x_n$$\sigma_n$$n$

これは、随伴方程式が

$L(\beta)\lambda = \sum_{n = 1}^N\frac{u(x_n) - u^o(x_n)}{\sigma_n^2}\delta(x - x_n)$

ここで、はディラックのデルタ関数です。有限要素を使用してこれを解決しているので、原則として形状関数をデルタ関数と統合すると、その時点で形状関数を評価することになります。それでも、規則性の問題はおそらくすぐに却下されるべきではありません。私の最良の推測は、目的関数は、実フィールドの観点からではなく、すべてのフィールドに対する有限要素近似の観点から定義され、その後離散化されるべきだということです。$\delta$

私が取り組んでいる特定の問題に関連して、または一般に、逆問題で連続的または点ごとの測定を仮定することの比較を見つけることができません。多くの場合、初期の規則性の問題に言及することなく、ポイント単位の測定が使用されます。連続測定とポイントワイズ測定の仮定を比較した出版物はありますか？ポイントワイズの場合のデルタ関数について心配する必要がありますか？

多くの場合、このフィールドの測定値はむらがあり、チャンクが欠落しています。それを避けることができるのに、なぜ疑わしい忠実性の連続的なフィールドを得るために補間するのですか

あなたは完全に正しいです-ほとんどの場合、ドメイン全体をカバーする連続フィールドへの補間はオプションではありません。選択したドメインの場所でのみ測定値（ポイントソース）を使用できる天気予報の問題について考えます。「実際の」逆問題を考えるとき、ポイント単位のデータは例外よりも規範であると思います。

私の最善の推測は、目的関数は、実フィールドの観点からではなく、すべてのフィールドの有限要素近似（discretize-then-optimize）で定義し、その後で離散化する（optimize-then-discretize）べきだということです。

2つのアプローチは同等ではありません（非常に単純な問題を除く）。2つのアプローチ（それぞれの長所と短所）を比較する膨大な文献があります。Max Gunzburgerのモノグラフ（特に第2章の終わり）に向けて指摘します。

連続測定とポイントワイズ測定の仮定を比較した出版物はありますか？ポイントワイズの場合のデルタ関数について心配する必要がありますか？

ソースタームを正確に表すことができます。つまり、ソースタームは（aへの離散近似）ディラック分布としてモデル化されます[ Arraya et al。、2006 ]、または正規化された関数によってソースタームを近似できます（ 、たとえば、没入境界法で）。Hosseiniらによるこの最近の論文を（初心者向けに）ご覧ください。（およびその中の参照）。

@GoHokiesの答えを拡張するには：規則性の質問に興味がある場合は、実際に「ポイント測定」とは何かを尋ねることもできます。物理的な練習では、「ポイント」で何も測定できません。むしろ、あなたは常にある種の時空間チャンクである種の平均を取得しようとしています。温度計は点ではなく拡張された物体であり、周囲の媒体の温度に調整するには時間がかかります。濃度測定装置には有限のサンプルサイズが必要です。等

これが数学的に意味することは、関数内のデルタ関数は、実際には、十分に小さな領域や時間間隔での平均であることです。その結果、双対方程式の右辺も有限であり、規則性の問題は生じません。

もちろん、実際には、通常、有限要素メッシュで測定する小さなスペースまたは時間間隔を解決することはできません。つまり、解決できる長さのスケールでは、右側が特異に見え、その結果、解決策も異なります。ただし、すでに離散化エラーを導入しているため、同じ重みをもつ離散近似によって測定するボリュームの特性関数を正則化することもできます。正しく実行すると、離散化誤差よりも大きくない誤差が発生し、（離散）双対方程式の完全に適切な右辺関数を受け取ることができます。