l2ノルムとL2ノルムの違い

ノルムとノルムの違いは何ですか。明確なリファレンスが見つかりません。ウィキペディアはそれらを互換的に使用しています。 $l^2$ $L^2$

error-estimation

通常

別個のバージョンと見なすことができ

：

、一方の配列のための規範であり

実際のライン上の関数のノルムです。

ℓ^{2}

$\ell^2$

L^{2}

$L^2$

ℓ^{2}

$\ell^2$

L^{2}

$L^2$

— SB

@SBのコメントは正しいので、回答になっているはずです。

— Brian Borchers、2016年

あなたはそれらが時々似たように考えるように考えるかもしれないことを考慮すべきですが。関数のシーケンスへのマッピングを見つけることができます。たとえば、関数のフーリエ級数（およびその係数のシーケンス）。

— nicoguaro

両方のノルムは、それぞれのヒルベルト空間のスカラー積によって誘導されるという点で似ていますが、異なる空間には異なる内積が与えられているため、両者は異なります。

$\mathbb{R}^N$ $v = (v_1,\dots,v_N)^T\in \mathbb{R}^N$
$‖ v ‖_{2}^{2} = (v, v)_{2} = \sum_{i = 1}^{N} v_{i}^{2} .$ $\|v\|_{2}^2 = (v,v)_{2} = \sum_{i=1}^N v_i^2.$
用（以下ノルムが有限であるため、実配列の空間）のノルムによって定義されます $\ell^2$ $v = \{v_i\}_{i\in\mathbb{N}} \in \ell^2$
$‖ v ‖_{ℓ^{2}}^{2} = (v, v)_{ℓ^{2}} = \sum_{i = 1}^{\infty} v_{i}^{2} .$ $\|v\|_{\ell^2}^2 = (v,v)_{\ell^2} = \sum_{i=1}^\infty v_i^2.$
以下のための（有界ドメイン上のルベーグ測関数の空間次ノルムが有限であるため）、のノルムは、によって定義され $L^2(\Omega)$ $\Omega\subset\mathbb{R}^d$ $u\in L^2(\Omega)$
$‖ u ‖_{L^{2}}^{2} = (u, u)_{L^{2}} = \int_{Ω} u (x)^{2} d x .$ $\|u\|_{L^2}^2 = (u,u)_{L^2} = \int_\Omega u(x)^2\,dx.$

これはすべて標準であり、機能分析に関する入門用の教科書で見つけることができ、おそらくすでに知っています。質問にはerror-estimationというタグが付けられているため、有限要素の離散化など、どちらか一方を使用することの実際的な違いに興味がある可能性があります。有限数の基底関数のスパンである有限次元部分空間あるとします。次に、任意のをとして記述できますため、あなたがコース測定できるによって $V_h\subset L^2(\Omega)$ $\{\varphi_1,\dots,\varphi_N\}$ $u_h\in V_h$

\begin{matrix} (1) & u_{h} = \sum_{i = 1}^{N} u_{i} φ_{i} . \end{matrix}

$u_h = \sum_{i=1}^N u_i \varphi_i. \tag{1}$

V_{h} \subset L^{2} (Ω)

$V_h\subset L^2(\Omega)$

u_{h}

$u_h$

L^{2}

$L^2$ 規範。あるいは、あなたが識別できるベクターで（時々呼ばれる同型座標）とを測定のユークリッドノルムによって。

u_{h}

$u_h$

\vec{u} := (u_{1}, \dots, u_{N})^{T} \in R^{N}

$\vec u:=(u_1,\dots,u_N)^T\in\mathbb{R}^N$

u_{h}

$u_h$

\vec{u}

$\vec u$

を測定する2つの方法はどのように比較しますか？定義をと、ここでは質量エントリ。比較すると、 $u_h$ $(1)$

‖ u_{h} ‖_{L^{2}}^{2} = (u_{h}, u_{h})_{L^{2}} = \sum_{i = 1}^{N} \sum_{j = 1}^{N} u_{i} u_{j} \int_{Ω} φ_{i} (x) φ_{j} (x) d x = {\vec{u}}^{T} M_{h} \vec{u},

$\|u_h\|_{L^2}^2 = (u_h,u_h)_{L^2} = \sum_{i=1}^N\sum_{j=1}^N u_iu_j \int_\Omega \varphi_i(x)\varphi_j(x)\,dx = \vec u^T M_h \vec u,$

M_{h} \in R^{N \times N}

$M_h\in \mathbb{R}^{N\times N}$

M_{i j} = \int_{Ω} φ_{i} (x) φ_{j} (x) d x

$M_{ij} = \int_\Omega \varphi_i(x)\varphi_j(x)\,dx$

‖ u_{h} ‖_{ℓ^{2}}^{2} := ‖ \vec{u} ‖_{2}^{2} = {\vec{u}}^{T} \vec{u} .

$\|u_h\|_{\ell^2}^2 := \|\vec u\|_2^2 = \vec u^T \vec u.$

両方の規範したがって同等である、すなわち、定数が存在ようしたがって、原則として、両方の基準を交換可能に使用できます。一方の基準でエラーがゼロになると、もう一方の基準でもエラーがゼロになり、同じ率になります。ただし、定数およびはから独立していますが、、特に依存していることにてください。これは、異なるスペース離散化エラーを（たとえば）と比較する場合に重要です。 $c_1,c_2>0$

c_{1} ‖ u_{h} ‖_{ℓ^{2}} \leq ‖ u_{h} ‖_{L^{2}} \leq c_{2} ‖ u ‖_{ℓ^{2}} for all u_{h} \in V_{h} .

$c_1\|u_h\|_{\ell^2}\leq \|u_h\|_{L^2} \leq c_2 \|u\|_{\ell^2}\qquad\text{for all }u_h\in V_h.$

c_{1}

$c_1$

c_{2}

$c_2$

u_{h}

$u_h$

V_{h}

$V_h$

N

$N$

V_{h}

$V_h$

N_{1} < N_{2}

$N_1<N_2$ その場合、それ自体はまたは依存しないノルム、つまりノルムを使用する必要があります。（これは、を定数関数としてし、異なるをと比較することで確認できます。前者は、、質量行列はスケーリングを補償するため、後者はすべてのに対して同じ値を持ちます。

N_{1}

$N_1$

N_{2}

$N_2$

L^{2}

$L^2$

u_{h}

$u_h$

u_{h} = 1

$u_h=1$

‖ u_{h} ‖_{ℓ^{2}}

$\|u_h\|_{\ell^2}$

N

$N$

‖ u_{h} ‖_{L^{2}}

$\|u_h\|_{L^2}$

\sqrt{N}

$\sqrt{N}$

N

$N$

質量行列は対角行列で近似する代替、 -中間-が第まただ（例えば、の対角要素として取ることによっての対応する行の合計）、およびノルムとして取得され ; これは通常、塊の塊と呼ばれます。このノルムはと両方のノルムとも同等です。この場合、と質量の集中ノルムを比較するときの定数とは依存しません。 $D_h$ $D_h$ $M_h$ $\|u_h\|_{D}^2:=\vec u^T D_h\vec u = \sum_{i=1}^N (D_h)_{ii} u_i^2$ $\ell^2$ $L^2$ $c_1$ $c_2$ $L^2$ $N$

— クリスチャン・クラソン
ソース

シーケンスの2ノルムは表されます。実線上の関数の場合、は2ノルムの標準表記です。 $\ell^2$ $L^2$

— SB
ソース

私が見ることができる決定的なリファレンスはありますか？

— ダマスカス鋼、

特定の参考文献は知りませんが、これらの定義の詳細については、標準の実際の分析の教科書で見つけることができると思います。

— SB

Erwin Kreyszig-提案します。アプリケーションの入門機能分析、ワイリー。

— nicoguaro

@nicoguaroありがとう。それが私が探していたものです。

— ダマスカス鋼