移流方程式の陰的有限差分スキーム

移流方程式のための多数のFD制度がありウェブで議論します。例：http: //farside.ph.utexas.edu/teaching/329/lectures/node89.html$\frac{\partial T}{\partial t}+u\frac{\partial T}{\partial x}=0$

しかし、次のような「暗黙の」風上スキームを提案する人はいません。 。$\frac{T^{n+1}_i-T^{n}_i}{\tau}+u\frac{T^{n+1}_i-T^{n+1}_{i-1}}{h_x}=0$

私が見た風上のスキームはすべて、空間微分の前のタイムステップのデータを扱っていました。その理由は何ですか？古典的な風上のスキームは、私が上で書いたものと比較してどうですか？

計算流体力学では、提案したものと同様の暗黙的なスキームを使用することは非常に一般的です。私が知っているものは、コンパクトな有限差分式に基づいています（既存のスキームでをn + 1に置き換えるだけではありません）。たとえば、最も広く使用されているスキームの1つは、1992年にLeleによって2500を超える引用で開発されました。このようなスキームは、典型的な明示的スキームよりも優れた分散特性を持つように作成できます。$n$$n+1$

暗黙の方法と大きなタイムステップサイズを使用する場合、通常、巻き上げはそれほど重要ではありません。（ジェレミーが言及した）大量の拡散は、とにかくショックを解決できないことを意味するためです。

あなたが提案する特定のスキームに関して：

• これは、空間の後方差分と時間の後方（暗黙）オイラー法を使用することにより、行の方法の離散化から取得できます。
• $u\ge0$$u<0$
• 従来の明示的な風上スキームよりも散逸的です。
• $\tau u/h = 1$$\tau u/h = -1$

書いたことをできない理由はありません。これが一般的でない理由の1つは、双曲線（移流）型の問題の場合、依存領域が有限であることです。したがって、明示的な方法は計算効率の観点から理にかなっています。

あなたが書いた暗黙のスキームは線形システムを解く必要がありますが、三角形を書いたので、解くのはかなり簡単です。もちろん、システムおよび複数の次元に移動すると、システムは三角形ではない可能性がありますが、未知の適切な順序付けが行われる場合もあります（たとえば、Kwok and Tchelepi、JCP 2007および Gustafsson and Khalighi、JSC、2006を参照してください））。

大きな時間ステップをとることを期待して、書いたように暗黙の時間ステップを使用することもありますが、ここでは注意が必要です。暗黙の方法を使用する場合、大量の拡散が発生するため、ソリューションが大幅に不鮮明になります。